ch06

第六章 参数估计

习题全解

习 题 6–1

1. 设总体X的分布律为P{X?i}?1 (i?1, 2, ?, l)，l为未知参数，l,Xn是来自总体X的样本，试求l及??P{X?3}的矩估计量.

X1,X2,解 由于

1l?122EX?(1?2???l)?， ??P{X?3}??，根据矩估计法,，则

l2l2EX?1有

X?l?12 ?? 22X?12. 2X?1??求得l及?矩估计量分别为l??2X?1及?2. 设总体X的概率分布为

XPi123?22?(1??)(1??)2

其中?为未知参数. 现抽得一个样本为x1?1,x2?2,x3?1, 求?的矩估计值.

解 先求总体一阶原点矩

E(X)?1??2?2?2?(1??)?3(1??)2?3?2?

14一阶样本矩x?(1?2?1)?

334??5, 所以?的矩估计值???5. 由E(X)?x, 得3?2??, 推出?3663． 随机地取8只活塞环，测得它们的直径如下（单位: mm） 74.001 74.005 74.003 74.001

74.000 73.998

74.006 74.002

求总体均值?及方差?2的矩估计，并求样本方差S2.

解：?，?2的矩估计分别是

1

1n??X?74.002,????(Xi?x)2?6?10?6 ?ni?12 S2?6.86?10?6 4．设X1,X2,数?的矩估计量. 解：因为X??X为矩估计量. P(?)，EX??，故?,Xn是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本，求求知参

5．设X1,X2,,Xn为取自总体的一个样本. 分别求下列各总体的密度函数

或分布律中的未知参数的矩估计量.

??c?x?(??1),x?c（1）f(x)??

0,其它???θxθ?1,0?x?1（2）f(x)??

?0,其它.???1，?为未知参数. 其中c?0为已知，

其中??0，?为未知参数.

x（3）P(X?x)?Cm?px(1?p)m?x,x?0,1,2,,m,0?p?1,p为未知参数.

解：（1）E(X)??得 ??????????xf(x)dx????cθcθ?θ?1θcθcθcxdx?c?,令?X，

θ?1θ?1θ?1θ?θX X?c（2）E(X)??xf(x)dx??10θxθdx??X2θ,令?X,得??()

1?Xθ?1??1m??X （3）E(X)?mp，令mp?X，解得p6．求上述题5中各未知参数的极大估计量. 解：（1）设x1, x2, , xn为样本的观察值，似然函数为 L(?)??f(xi; ?)

i?1n ??c(?xi)?(??1)

nn?i?1n两边取对数，得

lnL(?)?nln??n?lnc?(??1)?lnxi

i?1n似然方程为

2

ndlnL(?)n??nlnc??lnxi?0 d??i?1n1??(解得?的极大似然估计值为?lnxi?lnc)?1, （解唯一）所以?的极大?ni?1??(1lnX?lnc)?1 似然估计量为??ini?1（2）L(θ)??f(xi)?θi?1n?n2n(x1x2?xn)θ?1?n,lnL(θ)?ln(θ)?(θ?1)lnxi

2i?1?ndlnL(θ)?n11???dθ2θ2θ?lnxi?1ni??(n?0,θ?lnx)ii?1n2,(解唯一)故为极大估计

量.

x1（3）L(p)??P{X?xi}?Cmi?1nxnCm?pi?1(1?p)?xinmn??xii?1n，

lnL(p)??lnC??xilnp?(mn??xi)ln(1?p)

ximi?1i?1i?1nnndlnL(p)?dp?xi?1nimn???xi?1nip1?p?0

解得 p??xi?2nimn?X(解唯一）, 故为极大估计量. m7．设总体X分布律为

X012Pi?1?21??1??2其中0??1?1，0??2?1为未知参数，X1, X2,

, Xn是来自总体X的样本.

(1)如果样本的一个观察值为(1, 0, 2, 0, 0, 2)，求?1、?2的极大似然估计值. (2) 如果样本的观察值为(x1, x2, ?, xn)，求?1、?2的极大似然估计值.

解 (1)对给定观察值(1, 0, 2, 0, 0, 2)，其似然函数为

L(?1, ?2)?P{X1?1,X2?0,X3?2,X4?0,X5?0,X6?2}

3

??13?2(1??1??2)2.

两边取对数，得

lnL(?1, ?2) ?3ln?1?ln?2?2ln(1??1??2)

似然方程组为

2??lnL(?1,?2)3???0????1?????1112 ??lnL(?,?)1212????0???2?21??1??2???1，???1. 解得?1、?2的极大似然估计值为?1226(2)设观察值(x1, x2, ?, xn)中0，1出现的次数分别为n1，n2，则2出现的次数为

n?n1?n2，其似然函数为

L(?1, ?2)?P{X1?x1, X2?x2, ? , Xn?xn}

??P{Xi?xi}

i?1n??1n1?2n2(1??1??2)n?n1?n2

两边取对数，得

lnL(?1, ?2) ?n1ln?1?n2ln?2?(n?n1?n2)ln(1??1??2)

似然方程组为

??lnL(?1,?2)n1n?n1?n2???0???1?11??1??2? ???lnL(?1,?2)?n2?n?n1?n2?0???2?21??1??2?n??n2.我们可以看出它们分别是0，解得?1、?2的极大似然估计值为??1?1，?2nn1出现的频率，即事件出现的频率是其概率的极大似然估计.

8．设总体X服从[0,?]上的均匀分布, 参数?未知. X1,,Xn为X的样本,

x1,x2,,xn为样本值. 试求未知参数?的最大似然估计.

?1?,0?x1,,xn??解 似然函数L(?)???n

?其它?0,

4

因L(?)不可导, 可按最大似然法的基本思想确定??. 欲使L(?)最大, L(?)的最大值应该在x1,,xn?[0?,时]取得. ?应尽量小但又不能太小, 须满足

??xi(i?1,?,n), 即??max(x1,?xn), 否则L(?)?0, 而0不可能是L(?)的最大值.

因此,当??max{x1,,xn}时, L(?)可达最大.

所以?的最大似然估计值为

??max{x,,x} ?1n最大似然估计量为

??max{X,,X}?X ?1n(n)1??X1,X2,e,???x??,??0，9．设总体X的概率密度为f?x;???2?为X的一个样本，求（1）?的矩估计量;（2）?的极大似然估计.

x|1?|?解 （1）由于E(X)??xedx?0，不含?，进而计算EX2

??2??x|x2??x?1?|?2?E(X)??xedx??edx???y2e?ydy?2?2

??0?02?2?2x,Xn1n2由矩估计思想可建立如下方程： 2???Xi

ni?12从中解得?的矩估计量为： ????1nXi2 ?2ni?1x|x?x?1?|?edx??e?dx?? 另解 由于E?|X|???|x|??0?2?1n由矩估计思想可建立如下方程： ???|Xi|

ni?1n1??|Xi| 从中解得参数?的矩估计量为： ??ni?1注: 从本题可以看到矩估计量不唯一

1??i?1n??n（2）似然函数为：L(?)??e?(2?)exp???|xi|?

??i?1?i?12?n|x| 5

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