ch06(2)

?lnL(?)n1nlnL(?)?ln2?nln???|xi|，???2?|xi|，

?i?1????i?1?lnL(?)?0， 令

??n1n得如下方程： ??2?|xi|?0

?n1n??i?11n?从中解得： ???|xi| ni?1?2lnL(?)又????2????n3??|x|?ni?1i21n??0，于是?的极大似然估计量为：???|Xi|. ni?110．设X1,X2,?,Xn为来自两参数指数分布总体X～Exp(?,?)的一个样本，其分布密度函数为：

?1?x???exp????,f(x)???????0,?x??x??(???????,??0)

?）?1,?（1）求参数?,?的极大似然估计（记为?（2）求参数?,?的矩估计（记1；?）. ?2,?为?2解 顺序统计量为X(1)?X(2)?序后记为x(1)?x(2)??X(n)，样本观察值记为：x1,x2,,xn，排

?x(n)

?n?x??1???nxi???1?i?1i?（1）似然函数为：L(?,?)?nexp????n? ??nexp??????i?1?????????lnL(?,?)??nln???xi?1ni??n??lnL(?,?)n??0 ，

?????x(n),

即似然函数L(?,?)对?严格单调增加，注意到?须满足??x(1)?x(2)?于是?的极大似然估计量为：

?1?X(1) ? 6

xixi??lnL(x,?)x(1)?lnL(?,?)n??n(1)i?1i?1???2?n2，???2?n2 又

??????????nn令

?lnL(x(1),?)???0，得如下方程：?n???xi?1ni?2?nx(1)?2?0

??x?x 从中可解得：?1(1)又

?2lnL(x(1),?)??2????1??n?x?x?(1)2?0，于是?的极大估计量为:

??X?X ?1(1)（2）由于

X????X????X???~Exp(1)，E??1,D????1

??????所以，E(X)????,D(X)??2 由矩估计思想可建立如下方程组：

?????X ?22???Sn??S. ?2?X?Sn,?从中可解得参数?,?的矩估计分别为：?2n

习 题 6–2

?)?0，?2不是?2的无偏估计1. 设??是参数?的无偏估计，且有D(?证明：（注，??)]?g(?)，?)??时，此题说明：当E(?不一定有E[g(?其中g(?)为?的实值函数）.

?)?E[???E(??)]2?E(????)2?E(??2?2?????2)?E??2?2?E????2 证 D(??2)?2?2??2?E(??2)??2 ?E(??2)??2，即??)?0，所以E(??2不是?2的无偏估计. 由于D(? 7

2．设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)，X1,X2,,Xn是来自总体X的

1n1n2样本，X??Xi为样本均值，S?(Xi?X)2为样本方差. 证明，对任?n?1i?1ni?1意??[0, 1]，?X?(1??)S2是?的无偏估计量.

证明: 因为EX?DX??， EX?EX??，ES2?DX??，

则E[?X?(1??)S2]??EX?(1??)ES2??. 所以?X?(1??)S2是?的无偏估计量.

3. 设总体X~N(0,?2),X1,X2,2,Xn是来自总体X的一个样本.

1n2???xi是?2的无偏估计. (1) 证明?ni?1?2). (2) 计算D(?11n1?2是?2的无偏估计. ?)??E(Xi2)?D(Xi)?n?2??2, 故?解 (1) E(?nni?1n2(2) 因

?Xi?1n2i?2?X???ii?1??nXi?~N(0,1)(i?1,2, 而,???,n), 且它们相互独立,

故由卡方分布的定义及性质知,

?n2?X???Xi?i?1~?2(n) ? D?i?12??2n 2????????2in?n2?Xi??44?n1?12??22?4?)?D??Xi??2D?i?12??22n??由此知 D(?

n???n?ni?1?n????4. X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本, 验证X,Xi(i?1,2,,n)均为

总体均值E(X)??的无偏估计量, 并请问哪一个估计量有效?

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解 由于E(X)??,E(X??(i?1,2,i)n,所以),X,Xi(i?1,2,,n为)?和无

,n),故

?2?1n?1n偏估计量, 但D(X)?D??Xi??D(Xi)?, D(Xi)??2(i?1,2,n?ni?1?n2i?1X较Xi(i?1,2,,n)更有效.

?(X5．设??1?? , , X , )112Xn?(X, X, ???和?2122 , Xn)都是参数?的无

?????是?的无偏?的两倍，试求常数?和?，使??偏估计量，并且??1的方差是?122估计，并且在所有这样的线性估计中是最有效的.

???2，由题意得 解 令D?2??E????，D???2?2 E?121?????是?的无偏估计，则只要 要使??12?????)??E????E?????????? E(??1212显然有????1，又

?????) ?(?2?2?2)?2 D(??1212 ?3[(??)2?]?2，

3312?????的方差最小，最有效. 所以当??，??时，??12336. 设X1,X2,nn,Xn是总体N(?,?2)的一个简单随机样本. 求k使

??k??|Xi?Xj|为?的无偏估计. ?i?1j?1解 由于Xi~N(?,?2), 且相互独立, 于是当i?j时 Xi?Xj~N(0,2?2),

E(|Xi?Xj|)??|x|????12??2????x22e?x24?2dx

2?22???0??x22?2??e4?xe4?dx???????2???. ?0??因为当i?j时, E(|Xi?Xj|)?0, 所以

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?)?k??E(|Xi?Xj|)?k?n(n?1)E(?i?1j?1nn2?? 故当k??2n(n?1)??时, 有?|X??2n(n?1)i?1j?1?nni?Xj|为?的无偏估计.

7. 设X1,X2,2n?1i?1,Xn是总体XN(0,?2)的一个简单随机样本.求k使

??k?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计量. ?解 由于X1,X2,,Xn相互独立与总体X同分布，所以

EXi?EX?0，DXi?DX??2 i?1, 2, ?, n， 从而，EXi2?DXi?(EXi)2??2，又

??k?E(Xi?1?Xi)2 E?2i?1n?1?k?(EXi2?1?EXi2?2EXi?1EXi)

i?1n?1?2k(n?1)?2，

n?112??k?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计量. 所以，当k?时，?2(n?1)i?18. 设总体X在区间[0,?]上服从均匀分布, X1,X2,,Xn是取自总体X1n的一个样本, X??Xi, X(n)?max{X1,ni?1??aX, ,Xn} ,求常数a,b,使?1??bX均为?的无偏估计, 并比较其有效性. ?2(n)?1/?,0?x?0解 已知X~f(x)??, 其分布函数为

其它?0,F(x)??x??x?0?0,?f(t)dt??x/?,0?x??,

?1,??x??)?aE(X)?a??/2. 因E(x)??/2,D(X)??2/12, 故E(?1 10

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