ch06(5)

令E(X)?3?2??X

??3?X? 则得到?的矩估计值为?2（2）求?的最大似然估计值

3?1?2?153?

26似然函数L(?)??P{Xi?xi}?P{X1?1}P{X2?2}P{X3?1}

i?13?θ2?2θ(1?θ)?θ25?2θ(1?θ)

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)

dlnL(?)51???0 d?61????5 得到唯一解为?6求导

7． 设X1,X2,X3是来自均值为?的指数分布总体的样本，其中?未知，现有θ的如下三个不同的估计量

11T1?(X1?X2)?(X3?X4)

63T2?(X1?2X2?3X3?4X4)5 T3?(X1?X2?X3?X4)4

（1）指出T1,T2,T3哪几个是?的无偏估计量； （2）在上述?的无偏估计中指出哪一个较为有效. 解：（1）由于Xi服从均值为?的指数分布，所以 E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, 由数学期望的性质, 有

E(T1)?E(T2)?11[E(X1)?E(X2)]?[E(X3)?E(X4)]?θ63

i=1,2,3,4

1[E(X1)?2E(X2)?3E(X3)?4E(X4)]?2θ5 1E(T3)?[E(X1)?E(X2)?E(X3)?E(X4)]?θ4

即T1，T3是?的无偏估计量

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（2）根据方差的性质，并注意到X1，X2， X3， X4独立，知

D(T1)?115[D(X1)?D(X2)]?[D(X3)?D(X4)]?θ236918

D(T3)?11[D(X1)?D(X2)?D(X3)?D(X4)]??2 164D (T1)> D (T3) 所以T3较为有效。

8． 设X1,X2,...,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差. 记统计量T?X?S，则ET=_________,若X?kS2为

2______np2的无偏估计量，则k=_________.

解：由ET?E(X?S2)?EX?ES2?np?np(1?p)?np2

由X?kS2为np2的无偏估计，即np+knp(1-p)=np 即1+k(1-p)=p，从而k=?1，

9． 设某批电子管的使用寿命服从正态分布, 从中抽出容量为10的样本, 测得使用寿命的标准差S?45(小时).求这批电子管使用寿命的标准差的置信水平为95%的单侧置信下限.

10． 假定每次试验时，事件A出现的概率p相同(但未知). 如果在60次独立试验中，事件A出现了15次，试求p的置信水平为95%的置信区间.

211． 设总体X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?2)相互独立，从X中抽取n1?25的样2本，得s12?63.96；从Y中抽取n2?16的样本，得s2?49.05，试求两总体方差比

___2?12的置信水平为90%的置信区间. 2?2??2xe??x,??x?012． 设总体 X 的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，

?????0,????????其它X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本.

（I）求参数?的矩估计量；（II）求参数?的最大似然估计量.

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解： （I）由EX???2x2e??xdx?0??2?，令EX?X，可得总体参数?的矩估计

量??2. Xn（II）构造似然函数

?nn???xl??f(xl)??2n.?xl.el?1,x1,....xn?0 L(x1,......xn,?)??l?1l?1????????????????????????0,??????????????????????????其他当x1,x2...xn?0时，取对数lnL?2nln???lnxi???xi

i?1i?1n?dlnL2nn2n2令， ?0???xi?0,??n?n1d??i?1xixi??ni?1i?1故其最大似然估计量为??2 X??????1??,x??，13． 设随机变量X的分布函数为F(x,?,?)??? x???0，x??，?其中参数??0,??1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,

(Ⅰ) 当??1时, 求未知参数?的矩估计量; (Ⅱ) 当??1时, 求未知参数?的最大似然估计量; (Ⅲ) 当??2时, 求未知参数?的最大似然估计量. 解 当??1时, X的概率密度为

?????1,x?1， f(x,?)??x

??0，x?1，(Ⅰ) 由于

EX??xf(x;β)dx??x???1????βxβ?1dx? 令

β,β?1

???1?X, 解得 ??X, X?1 23

所以, 参数?的矩估计量为 ??(Ⅱ) 对于总体X的样本值x1,x2, L(?)??i?1nX. X?1,xn, 似然函数为

,n),??n,xi?1(i?1,2,?f(xi;?)??(x1x2xn)??1?0,其他.?

当xi?1(i?1,2,,n)时, L(?)?0, 取对数得

n lnL(?)?nln??(??1)?lnxi,

i?1对?求导数，得

d[lLn?(n)]n ???lnxi，

d??i?1d[lnL(?)]nn???lnxi?0， 解得 ??令

d??i?1n，

i?lnxi?1n??于是?的最大似然估计量为?n?lnXi?1n．

i( Ⅲ) 当??2时, X的概率密度为

?2?2,x??，? f(x,?)??x3?0，x??，?对于总体X的样本值x1,x2, L(?)??i?1n,xn, 似然函数为

,n),?2n?2n,xi??(i?1,2,?f(xi;?)??(x1x2xn)3?0,其他.?

当xi??(i?1,2,,n)时, ?越大，L(?)越大, 即?的最大似然估计值为

,xn},

??min{x1,x2, ?于是α的最大似然估计量为

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??min{X1,X2, ?

,Xn}．

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