ch06(3)

?)??, ??为?无偏估计, 且 当a?2时, E(?11?)?D(2X)?4D(X)?4?2/(12n)??2/(3n). D(?1又fn(x)?n[F(x)]所以

E(X(n))?n?1?nxn?1/?n,0?x??f(x)??,

0,其它?nxn?1n?2dx?,n?2

??nxn0nxn?1dx?nn?1?n??0n??,E(X(2n))?n?1??0?nn?2D(X(n))?,(n?2)(n?1)2

?)?bE(X)?bn?, 当b?n?1时, E(???n?1X为???故E(?即)??,2(n)2(n)2n?1nn的无偏估计, 且

n?2?2?2?n?1???), ???D(?D(?2)?bD(X(n))??1??2n(n?2)3n?n?(n?2)(n?1)22?比??更为有效. 所以?219. 设分别自总体N(?1,?2)和N(?2,?2)中抽取容量为n1,n2的两独立样本.

22其样本方差分别为S12,S2. 试证, 对于任意常数a,b(a?b?1),Z?aS12?bS2都是

?2的无偏估计, 并确定常数a,b使D(Z)达到最小.

2解 E(S12)?2,E(S2)??2,

2(n1?1)S12/?2~?2(n1?1), (n2?1)S2/?2~?2(n2?1) 2且相互独立, 所以D(S12)?2?4/(n1?1),D(S2)?2?2/(n1?1), 2故当a?b?1时, E(Z)?aE(S12)?bE(S2)??2, 2即Z是?2的无偏估计. 由S12,S2相互独立, 及 2D(Z)?D(aS12?bS2)

?(a2/(n1?1)?b2(n2?1))?2?4 ?(a2/(n1?1)?(1?a)2/(n2?1))?2?4

11

令

n1?1dD(Z)2(1?a)?4?2aa?, 得驻点 ?2?????0,2n1?n2?2da?n1?1n2?1?d2D(Z)22?4?又?2?????0, 知该点为极小值点, 所以, 当2da?n1?1n2?1?a?n1?1n2?1, b?时, 统计量

n1?n2?2n1?n2?2def1222Z?[(n1?1)S1?(n2?1)S2]?Sw

n1?n2?2具有最小方差.

习 题 6–3

1．构建置信区间的一般步骤是什么？ 解：求置信区间的一般步骤是：

(1) 选取未知参数?的某个较优估计量??; (2) 围绕??构造一个枢轴量

T?T(X1, X2, ?, Xn; ?)，

它仅含有未知参数?，其分布完全确定.

(3）对给定置信水平1??，根据T的分布，分别选取两个常数?和?使满足

P{??T(X1, X2, (4)将不等式??T(X1, X2, , Xn; ?)??}?1??

, Xn; ?)??改写成如下等价形式

?(X, X, ?112?(X, X, , Xn; ?, ?)? ???212, Xn; ?, ?)

?? ????}?1??，则(??, ??)是未知参数?的置信水平为1??的双即有P{?1212侧置信区间.

2． 置信水平、置信区间的精度、样本容量彼此之间是什么关系？

解：在其它条件不变的情况下，置信水平越大，置信区间越宽，对未知参数的估

计的精度就越差，反之则相反。当置信水平固定时，增大样本容量，则置信区间的宽度变小，精度提高。

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习 题 6–4

1. 设总体XN(?, 42)，问需要抽取容量n为多大的样本才能使?的置

信水平为95%的置信区间的长度不大于1.

解 ?2已知，?的置信水平为1??的置信区间为

(X?u1???n2, X?u1???n2)

区间长度L?2u1???n2，由题意得

L?2u1???n2?1

即有

n?4(u1???)2?245.86

2所以样本容量n至少为246.

2．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位:小时）分别为:

6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设干燥时间总体服从正态分布X求?的置信度为0.95的置信区间.N(?,?2)，

（1）若由以往经验知?=0.6（小时） （2）若?为未知.

解：（1）?的置信度为0.95的置信区间为X??nz?,

2计算得X?6.0,查表z0.025?1.96,??0.6,即为6.0?0.6?1.96?(5.608,6.392) 9（2）?的置信度为0.95的置信区间为X?St?(n?1)，计算得 n2X?6.0，查表t0.025(8)=2.3060,

1910.33S??(xi?x)2??2.64?0.33.故6.0??2.3060?(5.558,6.442)

8i?1832 13

3．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口初始速度的样本标准差为s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布. 分别求这种炮弹的炮口初始速度的标准差σ和方差?2的置信度为0.95的置信区间.

解：σ的置信度为0.95的置信区间为

(n?1)S2(n?1)S28?118?11(2,)?(,)?(7.4,21.1) 2??(n?1)??(n?1)17.5352.1821?2?2的置信度为0.95的置信区间为 (n?1)S2(n?1)S28?1128?112(2,2)?(,)?(55.2,444) ??(n?1)??(n?1)17.5352.1821?2其中α=0.05, n=9

22查表知 ?0.025(8)?17.535,?0.975(8)?2.180

4． 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率.设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1?n2?20. 得燃烧率的样本均值分别为x1?18cm/s,x2?24cm/s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差?1??2的置信度为0.99的置信区间.

解：?1??2的置信度为0.99的置信区间为

(X1?X2?z?2?120.052?)?(18?24?2.575?2)?(?6.04,?5.96). n1n2202?22其中??0.01，z0.005?2.575,n1?n2?20, ?12??2?0.052,X1?18,X2?24

5． 从某专业甲班中抽取8个学生，从乙班中抽取7个学生，分析他们的英

2语期末考试成绩，计算得x?70，s12?112；y?68，s2?36, 设两班的英语成

绩服从正态分布，且方差相等，求甲，乙两班英语平均成绩差?1??2的95%的置信区间.

解: 两正态总体方差相等，?1??2的置信水平为1??的置信区间为

?1111?X?Y?t(n?n?2)S? , X?Y?t(n?n?2)S?? ???12w12w??22n1n2n1n2??

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这里，??0.05，n1?8, n2?7，查表得t?(n1?n2?2)?t0.025(13)?2.16，

2t?(n1?n2?2)Sw2117?112?6?3611??2.16????9.14 n1n21387所以?1??2的置信水平为0.95的置信区间为(?7.14, 11.14).

习 题 6–5

1. 设抽自一大批产品的100个样品中, 得一级品60个, 求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间.

解 一级品率p是0?1分布的参数, 此处

n?100, p?x?60/100?0.6,1???0.95,?/2?0.025,u?/2?1.96, (一)， 利用方法一来求p的置信区间, 其中

222a?n?u?/2?103.84, b??(2nx?u?/2)??123.84, c?nx?36.

于是 p1?0.50,p2?0.69, 故得p的一个置信水平为0.95的近似置信区间为(0.50,0.69).

(二)，利用方法二来求p的置信区间

???U??p?2??1?p??n,p??U?p2???p?1?p?n???0.6?1.96答案为(0.504,0.696).

0.6?1?0.6?100,0.6?1.960.6?1?0.6?100

?2． 佳家公司是一家生产和销售各种日用品的公司. 由于面临残酷的竞争，该公司的一件产品——浴皂的销售情况令人堪忧．为了改善该产品的销售情况，公司决定引入更加诱人的包装．公司的广告代理给出了两种新的设计方案.第一种方案是将包装改成几种艳丽夺目的颜色的组合，由此和其他公司的产品区别开来；第二种方案是在淡绿色的背景上，只有公司的标记．为了检验哪种方案更加出色，营销经理选择了两家超市进行比较试验．其中一家超市里浴皂的包装使用第一种方案，而另一家超市的包装则采用第二种方案．营销试验历时一个星期．在这个星期里，产品扫描仪将记录下所有浴皂的销售情况，统计结果见下表：

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