[新人教]高考数学总复习专题训练概率统计与排列组合二项式定理

高考数学总复习专题训练 概率统计与排列组合二项式定理

安徽理

（12）设(x??)???a??a?x?a?x??La??x??，则 . 11（12)C20【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

【解析】

??a1?0??1C(0?2111，)?C?1111011a11?C(?1)?C212121，

??所

?以

??a???a??C?C??????. ?C???C??????????（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别

p?,p?,p?p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中

q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）

EX；

（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识. 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

(1?p1)(1?p2)(1?p3)，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

1?(1?p1)(1?p2)(1?p3)?p1?p2?p3?p1p2?p2p3?p3p1?p1p2p3.

（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布列为

1

X P

1 2 3 q1 (1?q1)q2 (1?q1)(1?q2) 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

EX?q1?2(1?q1)q2?3(1?q1)(1?q2)?3?2q1?q2?q1q2.

（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

EX?3?2p1?p2?p1p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有

3?2q1?q2?q1q2?3?2p1?p2?p1p2,……………………（*）

事实上，??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2)

?2(p1?q1)?(p2?q2)?p1p2?q1q2?2(p1?q1)?(p2?q2)?(p1?q1)p2?q1(p2?q2)

?(2?p2)(p1?q1)?(1?q1)((p2?q2)?(1?q1)[(p1?p2)?(q1?q2)]?0.

即（*）成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为3?(q1?q2)?q1q2?q1,若交换前两人

的派出顺序，则变为3?(q1?q2)?q1q2?q1,.由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的EX改写为3?2q1?q2?q1q2，或交换后两人的派出顺序，

则变为3?2q1?q3?q1q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3?q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.

综合（i）（ii）可知，当(q1,q2,q3)?(p1,p2,p3)时，EX达到最小. 即完成任务概率

大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. 安徽文(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （A）

???? (B) (C) (D)

?????（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为

31?.故选D. 1552

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 需求量（万吨） 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286 （Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y?bx?a;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. （20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 年份—2006 需求量—257 －4 －21 －2 －11 0 0 2 19 4 29 对预处理后的数据，容易算得

x?0,y?3.2,(?4)?(?21)?(?2)?(?11)?2?19?4?29260b???6.5, 2222404?2?2?4a?y?bx?3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为

?

y?257?b(x?2006)?a?6.5(x?2006)?3.2, )?260.2. ①即y?6.5(x?2006

（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

?6.5(2012?2006)?260.2?6.5?6?260.2?299.2（万吨）≈300（万吨）.

北京理

12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)

【解析】个数为2?2?14。

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

4

（1）如果X?8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

3

（2）如果X?9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。

2（注：方差s?1[(x1?x)2?(x2?x)2?n?(xn?x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平

均数） （17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

x?8?8?9?1035?;

44方差为

13535353511s2?[(8?)2?(8?)2?(9?)2?(10?)2]?.

4444416（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组

同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得P(Y?18)?21?. 1681111;P(Y?19)?;P(Y?20)?;P(Y?21)?. 444818 19 20 21 所以随机变量Y的分布列为： Y P 17 1 81414141 4181 41 41 8EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×

=19 北京文

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储

时间为

18x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与8仓储费用之和最小，每批应生产产品 B A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

4

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差s?2

1[(x1?x)2?(x2?x)2??(xn?x)2],其中x为x1,x2,?,xn的平均n数） （16）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

8?8?9?1035?;方

44135353511s2?[(8?)2?(9?)2?(10?)2]?.

444416x?差为

（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），

用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P(C)?41?. 164福建理6．（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于

B A．80 B．40 C．20 D．10

13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。

3 519．（本小题满分13分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

x1 P 5 0．4 6 a 7 b 8 0．1 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级

系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

5

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