[新人教]高考数学总复习专题训练概率统计与排列组合二项式定理(6)

（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 . 【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．

【解】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”， ，i?1，2． Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”用频率估计相应的概率，则有：

P(A1)?0.1?0.2?0.3?0.6，P(A2)?0.1?0.4?0.5；

∵P(A1)?P(A2)，∴甲应选择路径L1；

P(B1)?0.1?0.2?0.3?0.2?0.8，P(B2)?0.1?0.4?0.4?0.9；

∵P(B2)?P(B1)，∴乙应选择路径L2．

（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)?0.6，P(B)?0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2， ∴P(X?0)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.4?0.1?0.04，

P(X?1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42P(X?2)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.6?0.9?0.54，

∴X的分布列为

X P 0 1 2 0.04 0.42 0.54 ∴EX?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5．

陕西文9．设(x1,y1),(x2,y2),··· ，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ） (A) 直线l过点(x,y)

（B）x和y的相关系数为直线l的斜率 （C）x和y的相关系数在0到1之间

（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选A

26

选项 具体分析 回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式结论 A 正确 a?y?bx可知直线l必过点(x,y) B C D 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在?1到0之间时，两个变量负相关 不正确 不正确 不正确 l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 20.（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 选择L2的人数 6 0 12 4 18 16 12 16 12 4 （1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； ．．

（2 ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，

为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．

【解】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，

?用频率估计相应的概率为0.44.

（2 ）选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为：

所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 27

选择L2的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （3）用A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；用B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由（2）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1)? P(A2)，

?甲应选择路径L1；

P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1）， ∴ 乙应选择路径L2. 上海理

9.马老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布律如下表：

x P(??x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 请小牛同学计算?的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E?= . 2 12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）. 0.985

上海文

10、课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 2 四川理

1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18

[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是

1112（A） （B） （C） （D）

6233答案：B

221解析：数据落在[31.5，43.5)的频数为22，频率为?，选B．

66318．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、

28

乙不超过两小时还车的概率分别为

11、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4211、；两人租车时间都不会超过四小时． 24（Ⅰ）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量?，求?的分布列和数学期望E?． 本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．

11解：（Ⅰ）依题意得，甲、乙在三小时及以上且不超过四小时还车的概率分别为、．

441111115记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，则P(A)???????．

422444165答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．

16（Ⅱ）?可能的取值有0,2,4,6,8．

1111151111115P(??0)?；P(??2)?????；P(??4)???????；

84422164424241611113111P(??6)?????；P(??8)???．

4424164416甲、乙两人所付的租车费用之和?的分布列

? 0 2 4 6 8 15531 161616168155317所以E??0??2??4??6??8??．

8161616162四川文

2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18

[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3

根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占

2112（A） （B） （C） （D）

23113答案：B

221解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占?，选B．

66313．(x?1)9的展开式中x3的系数是_________．（用数字作答）

答案：84

63解析：∵(x?1)9的展开式中x3的系数是C9?C9?84． 17．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一

11次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还

4211车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．

24（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；

P 29

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则

111111P(A)?1???，P(A)?1???．

42424411答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．

44（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则

1111111111113P(C)?(?)?(???)?(?????)?．

42442224424443答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为

4天津理

10．如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）．

A288264240168 Ａ．种 Ｂ．种 Ｃ．种 Ｄ．种

【解】解法1．首先考虑除E,F外，相邻两端点不同色的情形：此时

DEA有4种涂法，与A相邻的点B有3种涂法，D有3种涂法，E有2种涂法，

B此时，C有2种涂法，F有2种涂法，因此共有 4?3?3?2?2?2?288（种）．

但是，这是有可能E,F同色，且当B,D同色，A,C不同色时，E,F同色．此时的涂

FC法有同色的E,F有4种，对于点E，点A,D共有3?2?6种，由对称性B,C只有1种涂法．

所以共有4?3?2?1?24（种）．

因此，符合题目要求的涂法有288?24?264（种）．故选Ｂ．

解法2．分两种情形讨论：点A,F同色和点A,F不同色，涂法数如下表：

点A,F同色 点A,F不同色 A,F 4 B E D C 1 合 计 4?3?3?2?1?72 3 3 2 2 4?3 2 2 2 4?3?2?2?2?2?192 因此，符合题目要求的涂法有72?192?264（种）．故选Ｂ． 解法3．先对B,F,C涂色，有4?3?2?24（种）．

固定其中一种涂法，设四种不同的颜色为颜色①，②，③，④．且设B涂颜色①，F涂颜色②，C涂颜色③．

则根据题意A,E,D的涂法可用下表枚举：

A ② 30

② ② ② ③ ③ ③ ③ ④ ④ ④

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