的有序实数组x、y、z，使
p xa yb zc
.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使
OP xOA yOB zOC
(这里隐含x+y+z≠1).
AB b,AC c,AD d,
A
D
注：设四面体ABCD的三条棱，其
B
中Q是△BCD的重心，则向量AQ
13
(a b c)用AQ
AM MQ
C
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)，则
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)
a ( a1, a2, a3)( R)
a1b1
a2b2
a3b3
a b a1b1 a2b2 a3b3a b a1b1 a2b2 a3b3 0
a
∥b
a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
2
1
a a
2
2
a
2
3
( a a )
a1b1 a2b2 a3b3
cos a,b
a b
|a| |b|
2b3
2a1
2a2
2a3
2b1
2b2
②空间两点的距离公式：d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作a ，如果a 那么向量a叫做平面 的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面 的法向量，AB是平面 的一条射线，其中A ，则点B到平面 .
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角 l 中平面 , 的法向量，
n1,n2则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，
反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a 平面 ，A B a,C D ，且CDE三点不共线，则a∥ 的充要条件是存在有序实数对 使AB
CD CE
.（常设
AB CD CE
求
解 , 若 , 存在即证毕，若 , 不存在，则直线AB与平面相交）.
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