n n 1 2
n n 1 2n 1
6
n
3. 常用公式：①1+2+3 +n = ②12 22 32 n2
an
59
：9，99，999，… an 10n 1； 5，55，555，…
a 1 r
m
10
1
m
.
x
ar 1 r
m
x 1 r
m 1
x 1 r
m 2
......x 1 r x a 1 r
m
x 1 r
r
1
1 r
m
1
5. 数列常见的几种形式：
an 2 pan 1 qan（p、q为二阶常数） 用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x2 Px q（x2对应an 2，x对应an 1），并设二根x1,x2②若x1 x2
nn可设an. c1xn1 c2x2，若x1 x2可设an (c1 c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.
an Pan 1 r（P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an 2 Pan 1 qan的形式，再用特征根方法求an；④an c1 c2Pn 1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.
①转化等差，等比：an 1 x
P(an x) an 1 Pan Px x x
an (a1
rP 1
)P
rP 1
n 1
.
r
(a1 x)P
n 1
②选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) r
P
n 1
P 1
x
a1 P
n 2
r Pr r
.
③用特征方程求解：
an 1 Pan r
相减， an 1 an Pan Pa
an Pan 1 r
（Pn 1 an 1 1）an Pa
n 1
.
④由选代法推导结果：c1
r1 P
，c2 a1
rP 1
，an c2P
n 1
c1 （a1
rP 1
）P
n 1
r1 P
.
6. 几种常见的数列的思想方法：
等差数列的前n项和为Sn，在d两种方法：
0
时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有
d2
d2
一是求使an 0,an 1 0，成立的n值；二是由Sn的值.
n
2
(a1
)n利用二次函数的性质求n
如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1
12,314
,...(2n 1)
12
n
,...
两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an an 1(
anan 1
)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
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