2024届高考数学一轮复习 第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学

8.6 空间向量及其运算

考纲要求

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

1．空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______．

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使________．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个______．

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝____________.

2．两个向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则______叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定____≤〈a，b〉≤____.若〈a，b〉＝____，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.

(2)两向量的数量积．

两个非零向量a，b的数量积a²b＝______________. (3)向量的数量积的性质(e是单位向量)：

①a²e＝|a|______________；②a⊥b a²b＝____；

2

③|a|＝a²a＝____；④|a²b|____|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律：

①(λa)²b＝λ(a²b)；②a²b＝______(交换律)； ③a²(b＋c)＝____________(分配律)． 3．空间向量的坐标运算

(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a±b＝____________________； λa＝________________(λ∈R)； a²b＝________________； a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝____；

a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； 2222

|a|＝a²a |a|a1＋a2＋a3(向量模与向量之间的转化)；

a²ba1b1＋a2b2＋a3b3

cos〈a，b.

|a||b|12＋a22＋a32b12＋b22＋b32

(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

则AB＝(x2－x1，y2－y1，z

2－z1)， |AB|(x2－x1)＋(y2－y1)＋(z2－z1).

2

2

2

1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使

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