2024届高考数学一轮复习 第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学(7)

【例2】解：(1)∵c∥BC， ∴c＝kBC，k∈R.

又∵BC＝(－2，－1,2)， ∴可设c＝(－2k，－k,2k)．

又∵|c|＝4k2＋k2＋4k2

＝3|k|＝3， ∴k＝±1.

∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．

(2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1，0,2)， ∴a²b＝－1，|a|＝2，|b|＝5，

∴cos θ＝a²b－110

|a||b|10

10(3)∵ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，

ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∵ka＋b与ka－2b互相垂直，

∴(ka＋b)²(ka－2b)＝(k－1)(k＋2)＋k2

－8＝0，

解得k＝2或k＝－5

2

.

【例3－1】解：(1)因为a∥b，

所以x4－2y＝1

－1

x＝2，y＝－4，

这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因为b⊥c，所以b²c＝0， 即－6＋8－z＝0，解得z＝2， 于是c＝(3，－2,2)．

(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，

因此a＋c与b＋c所成角的余弦值为cos θ＝5

－12＋338²38

＝－2

19.

【例3－2】解：如图所示，建立以C为原点的空间直角坐标系C－xyz，

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

则|BN|

＝(1－0)＋(0－1)＋(1－0) ＝3.

(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)． ∴BA1²CB1＝3，|BA1|6，|CB1|＝5， ∴cos〈BA1，CB1 CB11〉＝

BABA＝

3010

. 1CB1

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