2024届高考数学一轮复习 第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学(3)

(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．

【例3－2】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，AA1的中点．

(1)求|BN|；

(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M. 方法提炼

空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．

请做演练巩固提升

2

正确构建空间直角坐标系

【典例】(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A

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的坐标是 ，，0

，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.

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(1)求OD的坐标；

(2)设AD和BC的夹角为θ，求cos θ的值．

规范解答：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得

BD＝1，CD＝3.

∴DE＝CDsin 30°＝

32

1212

OE＝OB－BDcos 60°＝1－＝13

∴D点坐标为 0，－ ，

22 13

即OD的坐标为 0，－， .(6分)

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