(完整word版)圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案),推荐文档(2)

)()()(||22

222

2

2

2

1x a

c

a x

a b b c x y c x F +=-++=++=

由0,>+-≥+

≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a

c

a F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==

则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=

由.||,4,211222121x a c

a r F cx r r a r r +

===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+

x a

c

a 由椭圆第二定义得a c c

a x F =+|

|||2

1，即.||||||2

1x a c a c a x a c P F +=+=

由0,>+-≥+

-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a

c

a F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x

当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==

||2

1

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2

2

2

a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥.

又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',），则???

?

???'=+'=

.2

,2y y c

x x 因此?

?

?='-='.2,

2y y c x x ①

由a Q F 2||1=得.4)(2

2

2

a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.2

2

2

a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2

2

2

a y x =+……………………7分

（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

1,

2

02

20

20b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤

所以，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，

由2

2220

22021b c a y c x MF MF =-=+-=?， 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠?=?，

22121sin ||||2

1

b MF F MF MF S =∠?=

，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

1,

2

022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242

20≥+-=-=c b a c b a c

b a x 于是，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，

由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2

12121=+-=∠k k k k MF F …………14分

11、设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的

两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012

1120x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;022

00=--x y x x

切线BP 的方程为：;022

11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10，

,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

③ ④

③ ④

（2）方法1：因为).4

1,(),41,2(

),41,(2

1110102

00-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +

=--+?+==∠

同理有||41)1)(1(||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +

=--+?+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2

(

1

x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141

:;2||1

2111x x x y BF x d -=

-=的方程而直线

即.04

1

)41(1121

=+--x y x x x

所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|

|)41()()4

1(|42)41(|1211

212

1221112

1

2x x x x x x x x x d =++=+-+-=

所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04

1)41(),0(041

41002002

0=+-----

=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04

1)41(),0(041

411121121=+-----

=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：

2||41)

41)(2|)4

1(|41)2)(41(|1020201020

2200120102

01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P

点到直线BF 的距离2

|

|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 二、中点弦问题：

12、已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点??

? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）

椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1

-=?OQ OP k k ，求线段PQ 中

点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

??????

?=+=+=+=+④

，③

，②

，①，y y y x x x y x y x 2222222

1212

22

22121 ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有

()()022*******=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

12

1=--+x x y y y

x ．⑤

（1）将21=

x ，2

1

=y 代入⑤，得212121

-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662

=--y y ，04

16436>??-=?符合题意，

0342=-+y x 为所求．

（2）将22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）

（3）将2

12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222

2=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ：

()

22

2

2212

221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212

212=??

? ??--+-x x y x x x ， 即

12

122

=+y x ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 13、椭圆C:

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414

,||,||.

33

PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.

解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522

1

2221=-=

PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,

从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4

92

2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.

因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822

221-=++-=+k k k x x 解得9

8

=k ，所以直线l 的方程为,1)2(9

8

++=

x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且

,14

92

121=+y

x

①

,14

92

222=+y

x

②

①-②得

.04

)

)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③

因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得

2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9

8，

所以直线l 的方程为y －1＝

9

8

（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆22

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