∵.1,1,2===c b a
∴曲线E 的方程是 12
22
=+y x . （2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线E 的方程222
2
=+y x ，得 068)12(2
2
=+++kx x k
设M 1（),(),
221,1y x N y x , 则
????
?
????
+=+-=+>?+-=?.126,128,06)12(4)8(2212212k x x k k x x k k ① ②
3
2- (3，32-)
3
3
2
x y 42=
i) L 与y 轴重合时，3
1
||||==
DN DM λ ii) L 与y 轴不重合时，
由①得 .2
3
2
>k
又∵2
1x x x x x x DN DM
N D M D =--==λ, ∵,012<
∴0＜λ＜1 ,
∴21
2)(1221212
21++=++=?+λ
λx x x x x x x x .
∵
)
12(332)
12(664)(222
2
12
2k
k k x x x x +=+=?+
而,232
>
k ∴.8)1
2(362<+ ) 12(33242<+< k ∴ 316214<++<λλ, 3 10 12<+<λλ, .131,3101,21,10<
??? ? ?? ?? ? <+>+<<λλλλλλ∴λ的取值范围是?? ? ???1,31 . 45、已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ， 0)2()2(=-?+→ → → → PC PQ PC PQ .(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）点Ｏ是坐标原 点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1,OA OB λλ+= +（）OC uu v uu u v uu v 求λ的取值范围． 解:(1)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +?-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,得: 22 40PQ PC -=u u u r u u u r ,………（2分） 设(,)P x y ,则2 2 2 (4)4(1)0x x y ??+-++=??,化简得: 22 143x y +=,………（4分） 点P 在椭圆上,其方程为22 143 x y +=.………（6分） (2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由(1)OA OB OC λλ+=+u u u r u u u r u u u r 得：0CA CB λ+=u u u r u u u r r ，所以，A 、B 、C 三点共线.且0λ>,得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即: 12 12 1x x y y λλλ=---??=-?…（8分） 因为 22 11143 x y +=,所以222(1)()143x y λλλ----+= ①………（9分） 又因为2222143x y +=,所以22 222()()43 x y λλλ+= ②………（10分） 由①-②得: 2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得: 2352x λ λ -=,………（12分） 因为222x -≤≤,所以35222λ λ --≤≤. 解得: 133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33?? ???? . ………（1４分） 六、定值、定点、定直线 46、过y 2=x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点.求证：直线BC 的斜率是定值. 分析：（1）点A 为定点，点B 、C 为动点，因直线AB 、AC 的倾斜角互补，所以k AB 与k AC 相反，故可用“k 参数”法，设AB 的斜率为k ，写出直线AB 的方程，将AB 的方程与抛物线方程联立，因A 为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标，同理可得点C 坐标，再求BC 斜率。 （2）因点B 、C 在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B （x 1,y 1）,C(x 2,y 2),因x 1=y 12,x 2=y 22,即可设B （y 12,y 1）,C(y 22,y 2)。再考虑k AB =-k AC 得参数y 1,y 2的关系。 解法1：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为-k AB ：y-2=k(x-4),与y 2=x 联立得： y-2=k(y 2-4),即ky 2-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解，∴2y B= k k y k k B 21,24-= +- x B =y B 2= ,44122 k k k +-∴B ??? ? ??-+-k k k k k 21,44122 ∵k AC =-k,以-k 代替k 代入B 点坐标得C ???? ? ?-+++k k k k k 21,44122 ∴k BC =4144144121212 2 2-=+-- ++-- +- k k k k k k k k k k 为定值 解法2：设B （y 12,y 1）,C(y 22,y 2)，则k BC = 1 22 1 2 2121 y y y y y y += -- ∵k AB =2 1 42,214222221121+= --=+=--y y y k y y y AB 由题意，k AB =-k AC ∴ 4,21212121-=++-=+y y y y 则 则k BC =4 1 -为定值。 点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC 的斜率为定值；解法2利用点B ，C 在抛物线上设点，形成含两个参数y 1,y 2的问题，用整体思想解题，运算量较小。 47、已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为 ，D 是AB 的中 点．（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ， ① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 设点E (m ，0)是x 轴上一点，求当PE u u u v · QE uu u v 恒为定值时E 点的坐标及定值． 解：(1)设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2 a b +，y ＝2a b -， ∵ |AB |＝ ∴(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3. (2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P (1 ，Q (1 ，此时|PQ |＝ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l ， ，解得k ＝.故直线l 的方程为y ＝(x －1). ②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)， 由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝2221k k +，x 1x 2＝223 1 k k -+， 则PE u u u r ＝(m －x 1，－y 1)，QE u u u r ＝(m －x 2，－y 2)， ∴PE u u u r · QE u u u r ＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝m 2－ 2221mk k +＋2231k k -+＋k 2 (2231k k -+－2221 k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+ 要使上式为定值须2221 3 m m m ---＝1，解得m ＝1，∴PE u u u r · QE u u u r 为定值－2， 当直线l 的斜率不存在时P (1 ，Q (1 ， 由E (1，0)可得PE u u u r ＝(0 ，QE u u u r ＝(0 ，∴PE u u u r ·QE u u u r ＝－2， 综上所述当E (1，0)时，PE u u u r · QE u u u r 为定值－2. 48、垂直于x 轴的直线交双曲线222 2=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶 点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22 020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为0 2y x - 的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设 )2(2 111++= ∴x x y y M A 的方程为直线 ① 直线A 2N 的方程为)2(2 11---= x x y y ②……4分 ①×②，得)2(2 22 1212 ---= x x y y 分 为定值的交点与是直线即822),(2 2),2(2 1 ,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x （Ⅱ）02222),(2002 02000 00=-+=+-- =-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为 2020 20 20 12222 42y y y x d +=+= += 于是……10分 112 2 11 2 22 20 20 20 2 ≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ 当1,1,12 00取最小值时d y y =±=……12分 49、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于 A 、 B 两点. （1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ?面积的最小值； （2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由． 解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB 的方程为 y kx p =+，与 x 2=2py 联立得22, . x py y kx p ?=?=+? 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定理得212122,2.x x pk x x p +==-于是 2121212121 2||||()42 ABN BCN ACN S S S p x x p x x p x x x x ???=+= ?-=-=+-222224822,p p k p p k =+=+ ∴当k =0时，2min ()22.ABN S p ?= （2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相 交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥点的坐标为11,.2 2 x y p +?? ? ?? ∵2222111111 ||||(),222O P AC x y p y p '= =+-=+ 1 11 |||2|,22 y p O H a a y p +'=-=-- ∴22222211111||||||())(2)(),442p PH O P O H y p a y p a y a p a ?
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