(完整word版)圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案),推荐文档(6)

．由方程组???????

=++-=,134,41

22y

x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =

+．于是13

42210n

x x x =+=，13

124100n

n x y =

+-=， 即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n

n +?=13

44．解得

m n 4

13

-=． ②

将式②代入式①得04816926132

2=-++m mx x ③

∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(2

2>-?-=?m m ．解得13

13213132<<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-=，∴m m x -=-=)4

13

(1340，

m m m m x y 34

13

)(414134100-=--?-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴

13

)3(4)(2

2<-+-m m ．解得13

13213132<<-m ．

(法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上，∴1342

12

1=+y x ，

13

42

22

2=+y

x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．∴)(432100212

1

x x y x x x y y ≠-=--． 又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ，∴14430

0-=?-y x

，即003x y = ①。

又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同

解法2.

说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一

元二次方程的判别式0>?，建立参数方程．

(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12

020<+b

y

a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建

立参数不等式．

39、已知抛物线y 2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p 的取值范围.

分析：解决本题的关键是找到关于p 的不等式。

设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又?=(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得：

0

2.

40、已知圆2

2

16

:9O x y +=

.

（I ）若直线l 过点)2,1(，且与圆O 交于两点R 、S ，RS 27，

求直线l 的方程；（II ）过圆O 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，

若向量OQ OM ON =+uuu v uuu v uuu v

，求动点Q 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线n :380l x y +-=，点A 在直线n 上，圆O 上存在点B ，且30OAB ∠=?(O 为坐标原点)，求点A 的横坐标的取值范围. 解：（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，满足题意.

②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx

设圆心到此直线的距离为d ，则2

167193d ??

=-= ? ???

∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+=，综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x

（Ⅱ）设点M ()00,y x ，Q ()y x ,，则N ()0,0y ∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r

，

∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y = 又∵22

00169

x y +=，∴221649y x +=,由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，∴Q 点的轨迹方程是22

1649

y x +=(0y ≠) . （Ⅲ）依题意点n A ∈，设0

08(,)3

x A x -．过点A 作圆O 的切线，切点为M ，则30OAM OAB ∠∠=?≥．从而

1sin 302

OAM ∠?=≥sin ，即

||130||2OM OA ?=≥sin ，就是2264||4(||)9OA OM =≤，2

200864()39

x x -+≤,20

0580x x -≤,解得08

[0,]5

x ∈．

41、已知△P AQ 顶点P （-3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，0=?，2=.（1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l ：y =k （x +1）与轨迹E 交于B 、C 两点，点D （1，0），若∠BDC 为钝角，求k 的取值范围. 解:（1）OM =（x ，y ），=（0，a ），=（b ，0）（b >0），则=（3，a ），=（b ，-a ）

，又·=0，∴a 2=3b ①，又∵=（x -b ，y ），=（b ，-a ），=2，∴???-==a y b

x 23 ②，

由①②得y 2=4x （x ≠0）. 即M 的轨迹的方程为y 2=4x ，x ≠0.

（2）设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），=（x 1-1，y 1），=（x 2-1，

y 2），·=||·||cos ∠BDC ，∵∠BDC 为钝角，∴cos ∠BDC 0|

|||

∴·

<0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1+y 1y 2<0 ③. 由???+==)

1(4x k y x y 消去y ，得k 2x 2+（2k 2-4）x +k 2

=0（k ≠0），则x 1+x 2=22

24k k -，x 1x 2=1 ④，y 1y 2=k 2

（x 1+1）（x 2+1）= k 2［x 1x 2+（x 1+x 2）+1］ ⑤，④⑤代入③，得k 2<2

1

?22-

（k ≠0），满足△>0. ∴22-

2

（k ≠0）.

42、给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，记O 为坐标

原点.（1）求·的值；（2）设=λ，当三角形OAB 的面积S ∈［2，5］，求λ的

取值范围.

（1）根据抛物线方程y 2=4x ，可得F （1，0），

设直线l 的方程为x =my +1，将其与C 的方程联立，消去x 得y 2-4my -4=0， 设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）（y 1>0>y 2）.

则y 1y 2=-4.因为22

21214,4x y x y ==，所以x 1x 2=

.116

12

221=y y 故=?x 1x 2+y 1y 2=-3.

（2）因为λ=所以（1-x 1，-y 1）=λ（x 2-1，y 2）. 即??

?=--=-②

① 12121y y x x λλλ，又,4121x y =③ 22

24x y =， ④

由②、③、④消去y 1，y 2后，得x 1=λ2x 2，将其代入①注意到λ>0，解得x 2=λ1

. 从而可得y 2=λ

2

-

，y 1=λ2.故三角形OAB 的面积S =

21

|OF |·|y 1-y 2|=λ

λ1

+， O A B

M

x y

A O B

C

① ②

③ 因为λλ1+≥2恒成立. 所以只要解λ

λ1

+≤5即可，解得253-≤λ≤25

3+.

43、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC

能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，

求这种点C 的纵坐标的取值范围.

讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题. （1）由曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，知曲线M 的方程为x y 42=.

（2）（i ）由题意得，直线AB 的方程为?????=--=--=,

4),

1(3),1(32

x y x y x y 由 消y 得 .3,3

1

,03103212===+-x x x x 解出

于是, A 点和B 点的坐标分别为A )33

2,31(，B （3，32-）

，.3

162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|， 即有

???

????=-++=+++2

2222

2)316()3

2()131()316()32()13(y y 由①－②得,)3

32()34()32(4222

2

-+=++y y

.9

3

14-

=y 解得

因为9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

故知直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.

（ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，

由.32,

1),1(3=??

?-=--=y x x y 得 即当点C 的坐标是（－1，32）时，三点A ，B ，C 共线，故32≠y . 22223

349

28)3

32()3

11(||y y y AC +-=-+--=，

22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=，

9

256

)316(||22==AB .

(i) 当222||||||AB AC BC +>，即9

256

334928342822+

+->++y y y y ， 即CAB y ∠>,39

2

时为钝角.

(ii) 当222||||||AB BC AC +>，即9

256

342833492822+

++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时33

10为钝角.

(iii)当222||||||BC AC AB +>，即

2234283

349289256y y y y

++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.

故当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9

323

310≠>-

44、在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

2

2

。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线

E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设

λ=DN

DM

，

试确定实数λ的取值范围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y

=

22)2

2

(22222=++ ∴动点P 的轨迹是椭圆 . x

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