(完整word版)圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案),推荐文档(8)

?''=-=+---=-+- ??

?

∴2

2

1||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ??

??==-+- ???????

令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p

y =，即

抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得

222222222121212||2||1()414821 2.

AB k x x k x x x x k p k p p k k =+-=+?+-=+?+=+?+又由点到直线的距离公式得2

1d k =

+，从而，

2222211||21222221ABN S d AB p k k p k k

?=

??=?+?+?=++，

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为

11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--= 则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ???

??=---=-

+- ???????

设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有

3411||||4()2().22p p PQ x x a y a p a a y a p a ?????

?=-=-+-=-+- ? ?????????

令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p

y =，即抛物

线的通径所在的直线.

50、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的离心率为3，右准线方程为3

x =（Ⅰ）求双

曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22

:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得23

33a c

c a

?=????=??，解得1,3a c ==， ∴222

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212

y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆22

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000

x

y y x x y -=--，

化简得00

2x x y y +=.由2

20

0122

y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2

002x <<，

∴20340x -≠，且()()

222

00016434820x x x ?=--->，

设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2

00

121222

00482,3434

x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OB AOB OA OB

?∠=?u u u r u u u r

u u u r u u u r ，且()()1212120102201

22OA OB x x y y x x x x x x y ?=+=+--u u u r u u u r ，

()2

1201201220

1422x x x x x x x x x ??=+

-++??- N O

A

C B

y x O '

l

()222200002222

000082828143423434x x x x x x x x ?

?--??=+-+----??

??

22

002200828203434

x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90?.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆2

2

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000

x

y y x x y -=--，

化简得002x x y y +=.由2

20

012

2

y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222

000344820x x x x x --+-= ①()222

000348820x y y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且

2

002x <<，∴20

340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222

008228,3434

x x x x y y x x --==--，∴12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r ，∴ AOB ∠的大小为90?

.（∵22

002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程

②的判别式均大于零）. 51、（1）若A 、B 是抛物线y 2=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O 为原点）．求证：直线AB 过定点．（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ， A 、B 为抛物线上的两个动点．（Ⅰ）如果直线AB 过抛物线焦点，判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）如果4OA OB ?=-uu v uu u v

（O 为坐标原点），证明直线AB 必过一定点，并求出该定点． (1)证明：设OA ：y=kx ，代入y 2=2px 得k 2x 2=2px 则k p y k p x 2,22==

∴)2,2(2k p

k

p A 同理由OB ：y=-

k

1

x 可得B(2pk 2,-2pk) 2

2

2

22111112222k k k

k k k k

k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= ∴)2(12:2

2

pk x k

k pk y AB --=

令x=2p 得y=0，说明AB 恒过定点（2p ，0） (2)解：（Ⅰ）∵焦点F 为（1，0），过点F 的直线AB 的方程可设为1x ty =+，代入抛物线24y x =

得：2440y ty --=，1122(,),(,)A x y B x y 设，则有124y y =-，

2212

12 1.

44

y y x x ==g 12121430OA OB x x y y ∴=+=-=-

（Ⅱ）设直线AB 的方程为2