(完整word版)圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案),推荐文档(3)

221(0)y x a b a b

+=>>

的一个焦点1(0,F -

，对应的准线方程为y =.（1）

求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ??

- ???

平分，

求直线l 的方程.

解：（1

）由2

222.c a

c a b c ?-=-??-=??

?=+?

3,1a b ==

即椭圆的方程为2

2

1.9

y x +=

（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ?

?-=+=++ ??

?即

设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由2

23,221.

9k y kx y x ?

=++????+=?? 得2222

327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则222

2

327(3)4(9)042

4k k k k k ??

?=+-+?+-> ???

①

∴2

122

3.9k k x x k ++=-+

∵MN 的中点为13,22P ??

- ???

，∴1212 1.2x x ??+=?-=- ??? ∴223 1.9k k k +-=-+

∴2239k k k +=+，解得k =3.

代入①中，229927184(99)180424??

?=-+?+-=> ???

∴直线l ：y =3x +3符合要求.

15、设12,F F 分别是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，(1)设椭圆C

上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与

椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM

PN

k K ?

的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论. 解：（1

）由于点2

在椭圆上，2

2

21b +=2a =4, 椭圆C 的方程为

22

143

x y +=焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）

（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + 把K 的坐标代入椭圆221

43

x y +=中得

22

(21)(2)143

x y ++=线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2

21()1

32

4

y x ++=

（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称 设

0000(,)(,),(,)

M x y N x y p x y --,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得

2222

00222211x y x y a b a b

+=+=，0

PM PN y y y y k K x x x x -+=

=

-+

PM

PN k K ?=22

00022000y y y y y y x x x x x x -+-?=-+-=2

2b a

-

故：PM PN k K ?的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关

16、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足3

4

,,32e 成

等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线

段AB 恰好被直线2

1

-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明

理由．

解 ： (Ⅰ)由题意知，9

8

34322

=?=

e ，所以322=e ． 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，

3

224

29)22(2

2=

+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922

=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有

???

????

+=-=+=22

122

10210y y y x x x ，可得??

?=+-=+0212121y y y x x ． 若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19

)21(2

02<+-y

，解得023*******<<-<

????=+=+

)2(19)1(19

2

2222

121y x y x )1()2(-得，09

)

)(())((1212

1212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -?-=++-=--=， 所以AB

k y 29

0=，

则有029

233233290<<-<<

AB

AB k k 或， 解得33-<>

AB AB k k 或，

故存在直线l 满足条件，其倾斜角)3

2,2()2,3(

π

ππ

πα?∈． 三、定义与最值：

17、已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．

（1）求3

2

PA PF +

的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值．

解:(1)由椭圆的第二定义转化知32PA PF +

的最小值是2

11，此时P )1,556(-

； (2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+

∵222=

≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA

∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2

214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，

（Ⅰ）求12PF PF ?u u u r u u u r

的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ?的最大值和最小值．

解：易知2,1,a b c ===

12(0),0).F F

设P （x, y ）

，则2222

2121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ?=-?-=+-=+--=-u u u r u u u r

因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?u u u r u u u r

有最小值-2.

当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?u u u r u u u r

有最大值1.

19

、若双曲线过点

，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 3

3

+

的值最小．

解：（Ⅰ）12y x 2

2

=-（II ）)2,3(P ,最小值为333-

20、以椭圆

13

1222

=+y

x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点

到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．

解方程组?

??=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．

所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，

∴()

363532

2222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为136

4522=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －3

2

y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF ?2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM =

DN ，求实数的取值范围．

解：①92x +42y =1；②2；③[5

1

,5]

22、 E 、F 是椭圆22

24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交

椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．

解：（1）22

41282AEF m n S mn m n ?+=??==?+=?

（2）因4

84

AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=?

+=??， 则 5.AF BF +=

（3）设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠

32232222223

(

(1t ?=÷+==≤， 当6t =3

303

tan EPF EPF ∠=

?∠=o 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2

||?→

??→??→?=?PC k BP AP .（1）求动点

P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||?→

??→?+BP AP 的最大值和最小值．

解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ，

则)1,(-=?→?y x AP ，)1,(+=?→?y x BP ，),1(y x PC -=?→

?.

∵2

||?→

??→??→?=?PC k BP AP ，∴[]

2

222)1(1y x k y x +-=-+，

即 012)1()1(2

2=--+-+-k kx y k x k .

若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线.

若1≠k ，则方程为2

22)11()1(k

y k k x -=+-+

， 表示以)0,1(k

k

-为圆心，以为半径

|1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(2

2=+-y x .

)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+?→

??→

?

∴2

22||y x BP AP +=+?→

??→

?. 又∵1)2(2

2

=+-y x ，

∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则

θcos 4522||22+=+=+?→

??→

?y x BP AP

∴当1cos =θ时，||?→

??→

?+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2.

24、点A 、B 分别是以双曲线

162x 120

2

=-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=? （1）求椭圆C

的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值．

解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=

-，

∴所求的椭圆方程为

+362x 120

2

=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则

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