（30套）2024年全国各地高考数学 模拟试题附答案 汇总之2(8)

由正弦定理得16c2=25a2， ∵c=5，∴a=4，BD=a=2， 在△ABD中，由余弦定理得：

AD2=c2+BD2﹣2c?BD?cosB=25+4﹣2×5×2×=24 ∴AD=2

，

．

∴△ABD的周长为c=BD+AD=7+2

18．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn，an+1，4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=

，设bn的前n项和为Tn，求证：Tn

．

【解答】解：（Ⅰ）∵Sn，an+1，4成等比数列， ∴（an+1）2=4Sn， ∴Sn=（an+1）2，

当n=1时，a1=（a1+1）2， ∴a1=1， 当n≥2时，∴两式相减得

即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0 又an＞0， ∴

，

，

，

∴数列{an}的首项为1，公差为2的等差数列， 即an=2n﹣1， 证明：（Ⅱ）∴

，

，

∴

．

19．（12分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料： 距消防站距离x（千米） 火灾损失费用y（千元） 1.8 17.8 2.6 19.6 3.1 27.5 4.3 31.3 5.5 36.0 6.1 43.2 如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求： （Ⅰ）求相关系数r（精确到0.01）； （Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；

（ III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）．

参考数据：yi=175.4，：xiyi=764.36，

（xi﹣）（yi﹣）=80.30，

（xi﹣）

2

=14.30，

（yi﹣）2≈471.65，

≈82.13

参考公式：相关系数 r=，

回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣x．

【解答】解：（Ⅰ）…（2分）

（Ⅱ）依题意得…（3分） …（4分）

，，

所以，…（6分）

又因为

故线性回归方程为

（7.32，7.33均给分）…（8分）

（+7.32或7.33均给分）…（9分）

（63.52或63.53

（ III）当x=10时，根据回归方程有：均给分），

发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，火灾的损失63.51千元．…（12分）

20．（12分）如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，使得AF⊥BD，DE∥CF，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．

（Ⅰ）证明：BE∥面ACD； （Ⅱ）求三棱锥B﹣ACD的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：证法一、连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH， 则OH是△AFC的中位线，∴OH∥CF，OH=由已知得DE∥CF，DE=

．

，∴DE∥OH，DE=OH，连接DH，

则四边形DHOE是平行四边形，∴EO∥DH， 又∵EO?面ADC，DH?面ADC，

∴EO∥面ACD，即BE∥面ACD；

证法二、延长FE，CD交于点K，连接AK，则面CKA∩面ABFE=KA， 由已知得DE∥CF，DE=

，∴DE是△KFC的中位线，则KE=EF．

∴KE∥AB，KE=AB，则四边形ABEK是平行四边形，得AK∥BE． 又∵BE?面ADC，KA?面ADC，∴BE∥面ACD；

证法三、取CF的中点G，连接BG，EG，得DE∥CG，DE=CG， 即四边形CDEG是平行四边形，

则EG∥DC，又GE?面ADC，DC?面ADC，∴GE∥面ADC， 又∵DE∥GF，DE=GF，

∴四边形DGFE是平行四边形，得DG∥EF，DG=EF，

又ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，AB=EF，得AB∥DG，AB=DG， ∴四边形ABGD是平行四边形，则BG∥AD， 又GB?面ADC，DA?面ADC，∴GB∥面ADC， 又GB∩GE=G，∴面GBE∥面ADC， 又BE?面GBE，∴BE∥面ACD；

（Ⅱ）解：∵GB∥面ADC，∴VB﹣ACD=VE﹣ACD ， 由已知得，四边形ABFE为正方形，且边长为2， 则在图2中，AF⊥BE，由已知AF⊥BD，且BE∩BD=B， 可得AF⊥平面BDE，又DE?平面BDE，∴AF⊥DE， 又AE⊥DE，AF∩AE=A，∴DE⊥平面ABFE， 且AE⊥EF，∴AE⊥面CDE， ∴AE是三棱锥A﹣DEC的高， ∵四边形DEFC是直角梯形． 且AE=2，DE=1，EF=2， ∴

．

21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣x，f′（x）是f（x）的导数． （Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；

（Ⅱ）当m＞0且a=1时，若f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立，求m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣1…（1分） f'（x）?（x﹣1）=（aex﹣1）（x﹣1）＞0， 当a≤0时，不等式的解集为{x|x＜1}…（2分） 当当当

时，时，时，

，不等式的解集为

，不等式的解集为{x|x≠1}…（4分） ，不等式的解集为

…（5分）

…（3分）

（Ⅱ）法一：当a=1时，由f'（x）=ex﹣1=0得x=0， 当x∈[﹣m，0]时，f'（x）≤0，f（x）单调递减， 当x∈[0，m]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增； f（x）max是f（﹣m）、f（m）的较大者． f（m）﹣f（﹣m）=em﹣e﹣m﹣2m，…（7分） 令g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，

，…（9分）

所以g（x）是增函数，所以当m＞0时，g（m）＞g（0）=0， 所以f（m）＞f（﹣m），

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