2024届高三数学名校试题汇编（第3期）专题02 函数(8)

?y?x?联立??1????x?x0? 8分

??y??x0?x??0???

?11M?x?,x?0?02x2x00?

??? 11分 ?25.（虹口区2013届高三一模）如果函数y?f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(x?a)?f(?x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”．

（1）判断函数y?sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”求出所有a的值；若不具有“P(a)性质”，请说明理由．

（2）已知y?f(x)具有“P(0)性质”，且当x?0时f(x)?(x?m)，求y?f(x)在[0,1]上的最大值．

（3）设函数y?g(x)具有“P(?1)性质”，且当?211?x?时，g(x)?x．若y?g(x)与22y?mx交点个数为2013个，求m的值．

解：（1）由sin(x?a)?sin(?x)得sin(x?a)??sinx，根据诱导公式得

a?2k???(k?Z)．?y?sinx具有“P(a)性质”，其中a?2k???(k?Z)．

??????4分

（3）?y?g(x)具有“P(?1)性质”，?g(1?x)?g(?x)，g(?1?x)?g(?x)，

?g(x?2)?g(1?1?x)?g(?1?x)?g(x)，从而得到y?g(x)是以2为周期的函数．

又设

1311?x?，则??1?x?， 2222g(x)?g(x?2)?g(?1?x?1)?g(?x?1)??x?1?x?1?g(x?1)．

11， ?x?n?（n?z）

221111当n?2k（k?z），2k??x?2k?则??x?2k?，

2222再设n?g(x)?g(x?2k)?x?2k?x?n；

当

n?2k?1（k?z），

2k?1?11?x?2k?1?22则

13?x?2k?22，

g(x)?g(x?2k)?x?2k?1?x?n；

?对于，n?1111，都有g(x)?x?n，而n?1??x?1?n?1?，?x?n?（n?z）

2222?g(x?1)?(x?1)?(n?1)?x?n?g(x)，?y?g(x)是周期为1的函数．

（1）若某个似周期函数y?f(x)满足T?1且图像关于直线x?1对称．求证：函数f(x)是偶函数；

（2）当T?1,a?2时，某个似周期函数在0?x?1时的解析式为f(x)?x(1?x)，求函数

y?f(x)，x??n,n?1?,n?Z的解析式；

（3）对于确定的T?0且0?x?T时，f(x)?3，试研究似周期函数函数y?f(x)在区间

x(0,??)上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

解：因为x?R关于原点对称，????????????????????1分 又函数y?f(x)的图像关于直线x?1对称，所以

f(1?x)?f(1?x)① ?????????????????????2分

又T?1，?f(x?1)?af(x),

用?x代替x得f(?x?1)?af(?x),③ ?????????????????3分 由①②③可知af(x)?af(?x),?a?1且a?0，

?f(x)?f(?x)．即函数f(x)是偶函数；????????????????4分

27.（嘉定区2013届高三一模 理科）

设a?R，函数f(x)?x?|x?a|?2x．

（1）若a?2，求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值； （2）若a?2，写出函数f(x)的单调区间（不必证明）；

（3）若存在a?[?2,4]，使得关于x的方程f(x)?t?f(a)有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

2?x?2;?x,（1）当a?2，x?[0,3]时，f(x)?x?|x?2|?2x???（2分）

2???x?4x,0?x?2.作函数图像（图像略），可知函数f(x)在区间[0,3]上是增函数，所以f(x)的最大值为

f(3)?9．????（4分）

2??x?(2?a)x,x?a,（2）f(x)????（1分）

2???x?(2?a)x,x?a.y a?2?(a?2)?①当x?a时，f(x)??x?， ??2?4?因为a?2，所以

22a?2?a， 2O a?2a x 2 所以f(x)在[a,??)上单调递增．????（3分）

a?2?(a?2)?②当x?a时，f(x)???x?， ??2?4?22②当2?a?4时，由（1）知f(x)在???,??a?2??a?2?和上分别是增函数，在[a,??),a???2??2?(a?2)2上是减函数，当且仅当2a?t?f(a)?时，方程f(x)?t?f(a)有三个不相等的实数

4解．

(a?2)21?????a??4?．????（5分） 即1?t?8a8?a?令g(a)?a?4，g(a)在a?(2,4]时是增函数，故g(a)max?5．????（7分） a所以，实数t的取值范围是?1,

??9??．????（8分） 8?

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