中考数学能力试题研究最值问题

中考能力试题最值问题探究

知识储备:中考数学中几何最值问题是把几何、代数、三角等知识融为一体，综合性强，是考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解决好这一热点问题的关键是善于转化，把形形色色的几何最值型综合问题最终化归为“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、 “点关于线对称”、“线段的平移”、“直径是圆中最长的弦”、 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”等几何小知识，考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。现举隅数例希望在中考在解决某些几何最值问题时能有所借鉴意义． 典例：

⑴ 已知A（－1，3），B(2,1)在x轴上求一点,

① P1使AP1+BP1最小；② P2使AP 2?BP2最大．．．．⑵ 已知C(3,3),D(－1,-1)在x轴上求一点,

2 ① Q1使CQ1?DQ1最大；② Q2使CQ2+DQ2最小； ．．．

yyA31BQ1D'3C1Q23-1-1解：⑴如图①B（2，1）关于x轴对称B＇(2,-1),直线AB＇与x轴交点

B`P12P2xxD-1即为所求AP1+BP1最小点P1（5,0）； ②直线AB与x轴交点即为P2（7,0） ．

42⑵如图① D关于x轴对称点D＇（?1,1）直线CD＇与x轴的交点即为所Q1（?9,0）；

24②直线CD与x轴的交点Q2（3,0）

8一 代数问题

?3??3，??2.5???3，1. 对于实数x，我们规定?x?表示不大于x的最大整数，例如?1.2??1，

若??x?4??5，则x的取值可以是（ ）. ??10?A.40 B.45 C.51 D.56

2.已知32n?16是整数，则n的最小整数值是________________

3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出

1

1（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边x111长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x?）；当矩形成为正方形时，就有x=（x

xxx11＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x?）=4最小，因此x?（x＞0）的最小值是2．模

xxx2?9仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）

x“式子x?A.1 B.2 C.6 D.10

二 立体图形中的最值问题

1.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．

由题意知底面圆的直径AB=2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=4n?，解得n=90，所以展开图中∠180PSC=90°，根据勾股定理求得PC=25，所以小虫爬行的最短距离为25． 2.如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线BC2一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）． BC ．36A． (4?)cm B．5 cm C．35 cm D．7 cm

一点且PC=?

侧面展开图如图所示,圆柱的底面周长为6cm,∵AC=3cm, PC=在Rt△ACP中,∵AP?AC?CP∴AP2?22222BC∴PC=?6=4cm 33AC2?CP2?32?42?5,故选B:

三 平面几何 类型1.线段的长最小

2

【例1】已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ． 分析：因为要解决OC的长的最大值，点C在第一象限，结合正三角形ABC，点C恰是 正三角形ABC的顶点，于是过点C作CD⊥ AB于D，连接OC。易求得△ODC中， DO＝

31311a a，∵△ODC中DO＋DC≥CO，即CO≤ a?AB＝a，CD＝

222223?13?1a，∴CO的最大值为a 22C y C ∴CO≤

B O y A x B O Ｄ A x 【思路点评】充分运用三角形的三边关系逆用“折”转“直”，或者看成点O、C间线段最短，辅助线的添画运用非常巧妙。

2.【例2】如图所示直线y?kx?3上有一点P到原点的距离最近，求这个最短距离。

分析：由ＭＱ所在的直线的解析式为：y?kx?3，过点Ｍ（－２，１）于是有方程1??2k?3解得：k??2， 所以y??2x?3，直线y??2x?3上有一点P到原点的距离最近，即ＰＯ⊥ＭＱ时，

∵由直线y??2x?3，设直线分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ、Ｂ两点，当 y＝０时，x＝－当 ｘ＝０时，ｙ＝－３，

3

y?kx?3 y?kx?3 M y 1 O 1 x M y 1 1 x Ａ ?2 O ?2 Ｂ Ｑ 3，233，０）B点的坐标为（０，－３），Rt△OAB中，可求得ＡＢ＝5，223利用△OAB的面积可求得斜边ＡＢ上的高为5，即为点P到原点的最近距离。

5 ∴ A点的坐标为（－

【思路点评】抓住是直线上一点到原点的距离最近，充分运用点到直线的距离“垂线段最短”， 运用三角形的面积法，得以求得答案。

3.【例3】（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8， BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ． 答案：2.4 练习：

1.（2014?达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是 1010 cm． 3

考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有

分析：判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF． 解答：解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大， 由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，

'2在Rt△B′DC中，B′D=BC?CD2=102?62=8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，

设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，

在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=

210， 310?10?10210cm．故答案为：10． 在Rt△BEF中，EF=BC2?BE2=10???=333??

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．

4

2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．

（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形； （2）求出该最小值．

解：（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理得：∠EOH=1∠EOF=223?1?2∠BAC=60°，∴∠OEH=30°，OE=1，∴在Rt△EOH中，OH=，EH=1???=，22??由垂径定理得：EF=2EH=3． 【例3】如图，在直角坐标系中，点M（x，0）可在x轴上运动，且它到点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标。

YPyPQOMXQOx

M

P‘

分析：作P点关于x 的对称点P′，∵P点的坐标为（5，5） ∴P′（5，－5） PM=P′Ｍ，连结Ｐ′Q，则Ｐ′Q与x轴的交点应为满足ＱＭ+ＰＭ的值最小，即为Ｍ点

5

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库中考数学能力试题研究最值问题在线全文阅读。