中考数学能力试题研究最值问题(2)

设Ｐ′Ｑ所在的直线的解析式为： y＝kx +b（k ≠ 0,k、b为常数）,于是有方程组

?1?2k?b?5?5k?b解得：

?k??1b?5所以y＝－２x+５

55

当 y＝０时，x＝ ，所以 Ｍ（ ，０）

22

【思路点评】充分运用找点关于线的对称点实现“折”转“直”，归结到点Ｐ′、Ｑ之间线段最短，实现问题的解决。

类型2线段和最小

【例1】（2013?内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．

考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案． 解答：

解：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上， ∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，

∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 练习：

C?BC1.已知在平面直角坐标系中，C是x 轴上的点，点A(0,2)，B(3,22) ，则A最小值是（ ）

6

的

A. 42 B. 8 C. 33 D.32 2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，1，点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ） 3）2

解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，

∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，3），∴AB=3，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=23，由三角形面积公式得：∴AD=2×113×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，2223=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠21333，OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN= AD=，由勾股定理得：DN=222113331∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=1?(，3)2=2222231，故选B． 23. 如图9,A,B两个村子分别位于一条河的两岸,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能让由A到B的路程最短?注意：桥必须与河岸垂直 即PA+PC的最小值是4.【数学思考】如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处7

才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB'等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置． 【类比联想】 （1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG． （2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=HF，试求y与x的函数关系式． EG【拓展延伸】 如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米． （3）当a=______ 米时，a=b． （4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．

（1） 证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°． ∵GE⊥AF，∴DH∥GE．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1， 四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，

??3??1?在△ABF与△DAH中，∵?AB?AD∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF，∴AF=GE；

??B??DAH?（2）解：作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）． ∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，∴∠1+∠2=90°． 又∵四边形ABCD是矩形，∴∠3+∠2=90°，

∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，∴AN=HF，DM=EG．

8

∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，∴△ABN∽△DAM， ∴2ANHFABAB,，即y=； ??xDMEGDABC（3）解：∵CO=4-a，DO=3+b．∴Rt△DOC中，DC2=（4-a）2+（3+b）2，即（4-a）2+（3+b）2=52．当a=b时，有（4-a）2+（3+a）2=25，解得a=1或a=0（不合）．故答案为：1； （4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP． ∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP=DC，CP=BD． 又AB=DC，∴BP=AB．∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2． 若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．又∵∠5=∠4，∴∠3＜∠5．∵Rt△ABO中，sin∠3=OB3OC4?a4?a3?；同理sin∠5=??，，∴AB5CD555即0＜a＜1． 面积问题

1.如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．

（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式； （2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式； （3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？

2.如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD 上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边 形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．

3. 如图， 在直角坐标系xOy中,一次函数y??9

2x?m（m为常数）3的图像与x轴交于A(-3,0)，与y轴交于点C。以直线x??1为对称轴的抛物线

y?ax2?bx?c(a,b,c为常数，且a＞0)经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B.

（1）求一次函数及抛物线的函数表达式。

（2）已知在对称轴上是否存在一点P,使得?PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标. （3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E,连接PD、PE。设CD的长为m, ?PDE的面积为S。求S与m之间的函数关系式。并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由。 2题图m24??2， x?m经过点A（-3，0），∴0=2+m，解得第32∴直线AC解析式为y??x?2，C（0，?2）． 3 2∵抛物线y=ax+bx+c对称轴为x??1，且与x轴交于A（-3，0）， 解：（1）∵y??∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1）， ∵抛物线经过 C（0，?2），∴?2=a?3（-1），解得a=， 3 ∴抛物线解析式为y?2224x?x?2； 33（2）要使?PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如答图1， 连接AC交x??1于P点，因为点A、B关于x??1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）． ∵A（-3，0）（，0），C（0，?2），∴直线AC解析式为y??x?2， 3 ∵xP= ?1，∴yP=?

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答图224，3即P（?1，?4）． 3EDP答图1

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