中考数学能力试题研究最值问题(4)

解：（1）

图①中过B作BC⊥l于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC=40，又∵AP=10，∴BD=BC-CD=40-10=30．在△ABD中，AD=502?302=40，在Rt△PBC中， ∴BP=CF2?BF2==402，S1=402?10 .图②中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，

又∵BC=40，∴BA'=402?502=1041，由轴对称知：PA=PA'， ∴S2=BA'=1041，∴S1＞S2． （2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小，因为PM=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周长为线段P'P''，根据两点之间线段最短可得此时的周长最短．连接OP'、OP''，则可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，

5.阅读并解答下面问题：

（1）如图所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）

（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤

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边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？

（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若

y?x2?1?(9?x2)?4，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值。

（1）（2分）

解：（1）如图：；

（2）由（1）知：A′与A关于CD对称，点P为污水处理厂的位置，由题知：AC=1，

'ACPC1xBD=2，CD=6，设PC=x由△A′CP∽△BDP得∴?解得x=2， ∴污水处?26?xBDPD理厂应建在距C地2km的河堤边。

（3）设AC=1，BD=2，CD=9，PC=x则PA′=y?x2?1，PB=y?(9?x2)?4由x1?，解得x=3当x=3时，9?x2（2）知，当A′，P，B共线时，PA′+PB=y最小这时，y?x2?1?(9?x2)?4值最小 最小值为310。

6.已知直线l和l外两点A、B，点A、B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且使PA+PB最短．

（2）平面直角坐标系内有两点A（2,3），B,4,5），请分别在x轴，y轴上找两点P,P’,使

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''AP+BP最小，BP?AP最大，则P,P'的坐标分别为 ， 。

（3）①代数式x2?8x?41?x2?4x?13的最小值是 ，此时 ； ．②代数式x2?8x?41?x2?4x?13的最大值是 ，此时 . ．

（4）在直角坐标系中，有四点A（-8,3），B(-4,5），C(0,n），D(m,0），当四边形ABCD周长最短时,

m ? .．n7.【观察发现】

（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP＋BP的值最小． 作法如下：

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．

（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小． 作法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为 ．

【实践运用】

如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP＋PN的最小值是_____． 【拓展延伸】

（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是___ ___

（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．

A

BD

C 图5

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