中考数学能力试题研究最值问题(3)

（3）∵设CD的长为m, ?PDE的面积为S∴D（0，m?2）， 22∵DE‖PC，直线AC解析式为y??x?2∴设直线DE解析式：y??x?m?23333m?3∴D（m?3，0） 22S?PDE= S?AOC -S?DOE -S?PDC -S?PEA=

当y=0时，x?

1341?3?13??m????3?m???2?m???m?12232?2?2 33332??m2?m???m?1??4244

3∴当m?1时有最大值4

四 利润问题

1.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y??2x?100。（利润=售价—制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。（2分） （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？（3分）。当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3分）

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？（3分）

2.某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y??2x?100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800， ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；

（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43

2

所以，销售单价定为25元或43元，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）+512， 因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．

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综合试题：

1.小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的： ①作点A关于直线l的对称点A′．

②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题： （1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．

①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE周长的最小值8．

（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值．

解：（1）①如图1所示：

②∵点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，∴DE=3，

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∵BC边上的高为4，∴DD′=4，∵DD′⊥BC，DE∥BC， ∴DD′⊥DE，∴ED′= DE?DD =5， C△PDE=D′E+DE=5+3=8；故答案为：8；

（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵AB=4，BC=6，G为边AD的中点，∴DG=AG=AM=3，∵AE∥DH，∴ ∴

2'2AEAM ，?DHDMAE1AE1? ，?, 故AE=1，

CD?HC333∴GE= 12?32=10 ，BF=2，CF=CF2?BF2 =22?62 =210 ，

CG= CD2?DG2 =5，∴C四边形GEFC=GE+EF+FC+CG=6+310 故答案为：6+310 ．

2.(1)观察发现：

如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小． 做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．

（2）实践运用：

如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值． （3）拓展延伸：

如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

的中点，在

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3.【观察发现】

(1)如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P． (2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_____． 【实践运用】

如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是_____． 【拓展延伸】

(1)如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_____；

(2)如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．

解：【观察发现】（2）∵△ABC是等边三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB， ∴点B与点C关于直线AD对称，BE=11AB=×4=2， 22∴BP+PE的最小值=CE=BC2?BE2=42?22=23． 故答案为：23； 【实践运用】如图3，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ， ∵M为BC中点，∴Q为AB中点，

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∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC， ∵四边形ABCD是菱形，∴CO=11AC=3，BO=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：22BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故答案为：5；

【拓展延伸】（1）如图4，作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，

∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=25，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′

2

，即2P′D′2=25，

525252，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：； 222∴P′D′=（2）如图5所示．

作法：作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所求．

4.(1)实际问题：在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50km，A、B到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．

现有两种设计方案：

图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图②是方案二的示意图（点A关于直线l的对称点是A’，直接写出S1、S2的值，并比较它们的大小；

(2)几何模型：如图③在∠AOB的内部有一点P，且∠AOB=45°，OP=50，在射线OA、OB上各找一点M、N，使△PMN的周长最小,请你说出做法、画出草图：并求出周长的最小值．

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