2024届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理2024042313(3)

解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°

8．在直角坐标系xOy中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．

解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，

设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)． 答案：(－1，3)

9．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 12

αr21

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，

124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.

2R＋αR答案：1∶2

10．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m， ∴r＝|OP|＝(－3)＋m(O为原点)， 即r＝3＋m. ∴sin α＝＝22

2

2

2

2

2m，则m＝________. 4

mr2mm＝， 422

∴r＝3＋m＝22， 即3＋m＝8，解得m＝±5. 答案：±5

B级——中档题目练通抓牢

1．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )

A.π

3

B.π 2

2

C.3 D.2

解析：选C 设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧

11

长为3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为

3RR＝3.

πsin θcos θ

2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋5|sin θ||cos θ|＋

tan θ

的值为( )

|tan θ|A．1 C．3

解析：选B 由α＝2kπ－B．－1 D．－3

π

(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，5

又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

1

3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )

54A. 33C．－ 4

3B. 44D．－

3

解析：选D ∵α是第二象限角，∴x<0. 又由题意知

1＝x， x2＋425

x解得x＝－3. 44

∴tan α＝＝－. x3

25

4．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则

327扇形的弧长与圆周长之比为________．

2r解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，

31?2r?2α??2?3?5则＝， 2πr275π∴α＝. 6

5π2r·35l6

∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. c2πr18

12

5

答案： 18

5．(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________．

π

解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin4π25π5π2＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出

42442

?π5π?满足题中条件的角x∈?，?.

4??4

答案：?

?π，5π?

?4??4

11

6．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

|sin α|sin α(1)试判断角α所在的象限；

?3?(2)若角α的终边上一点M?，m?，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的

?5?

值．

11

解：(1)由＝－，得sin α<0，

|sin α|sin α由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．

?3?22

(2)因为|OM|＝1，所以??＋m＝1，

?5?

4

解得m＝±. 5

又α为第四象限角，故m<0， 4

从而m＝－，

5

4－5ym4

sin α＝＝＝＝－.

r|OM|15

7．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

13

341

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝5－5＝－5. 当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－341

5＋5＝5.

(2)当a＞0时，sin θ＝3?π?5∈??0，2??，

cos θ＝－45∈???－π2，0???

，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 3?4?5·sin??－5??＜0；

当a＜0时，sin θ＝－3?π?5∈??－2，0??，

cos θ＝4?π?5∈??

0，2??，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos??3?－5??4?·sin 5＞0.

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． C级——重难题目自主选做 已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， ?2r＋l＝8，(1)由题意可得?

??1

?2

lr＝3，

解得???

r＝3，

?l＝2

或???

r＝1，

?

?

?

l＝6，

∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.

(2)法一：∵2r＋l＝8，

∴S1124·2r≤1?4?l＋2r?2??2?＝1扇＝lr＝l4×??8?2??2

?

＝4，

当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8，

14

112

∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，

22当且仅当r＝2，l＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

9π

1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )

49

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)

4C．k·360°－315°(k∈Z)

5π

D．kπ＋(k∈Z)

4

π

＋2kπ或4

lr解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为

k·360°＋45°(k∈Z)，结合选项知C正确．

2．已知点P?A.C.5π 611π

6

1??3

，－?在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

2??2

B.D.2π

35π 3

解析：选C 因为点P?1??3

，－?在第四象限，

2??2

1

－23

所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，

33

2又θ∈[0,2π)，可得θ＝

11π

. 6

3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )

A.π 3

B.π 2

C.3 D.2

解析：选C 设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长为3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为

3RR＝3.

15

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