2024届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理2024042313(4)

4．下列选项中正确的是( ) A．sin 300°＞0

B．cos(－305°)＜0 D．sin 10＜0

?22π?＞0 C．tan?－

3???

解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； 22π2π22π

因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；

333

7π

因为3π＜10＜，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，

2

?22π?＜0，sin 10＜0，故D正确． tan?－

3???

πsin θcos θ5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋5|sin θ||cos θ|＋

tan θ

的值为( )

|tan θ|A．1 C．3

解析：选B 由α＝2kπ－B．－1 D．－3

π

(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，5

又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

6．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°

7．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 12

αr21

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，

124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.

2R＋αR答案：1∶2

16

8π

8.点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为

3________．

8π

解析：设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达

38π2πππ1π3

点Q，则∠AOQ＝－2π＝(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝，cos＝，sin＝，

33332323??1

所以点Q的坐标为?，?.

?22?

3??1

答案：?，?

?22?

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

4

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

5

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．

?4?22

解：(1)设点B的纵坐标为m，则由题意m＋?－?＝1，

?5?

3?43?且m>0，所以m＝，故B?－，?， 5?55?3

53

根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

44－5(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝

???β??

π

，故与角α终边相同的角β的集合为3

?β＝π＋2kπ，k∈Z?3?

??

?. ??

10．已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， 2r＋l＝8，??

(1)由题意可得?1

lr＝3，??2

17

??r＝3，解得?

?l＝2?

??r＝1，

或?

?l＝6，?

l2l∴α＝＝或α＝＝6.

r3r(2)法一：∵2r＋l＝8，

111?l＋2r?21?8?2

∴S扇＝lr＝l·2r≤??＝×??＝4，

244?2?4?2?

当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8，

112

∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，

22当且仅当r＝2，l＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. B级——拔高题目稳做准做

3π 3π??1.已知点P?sin ，cos?落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为

44??( )

A.C.π

45π 4

B.D.3π 47π 4

lrlr3π3π

解析：选D 由sin ＞0，cos ＜0知角θ是第四象限角，

443π

cos

4

因为tan θ＝＝－1，θ∈[0,2π)，

3πsin

47π

所以θ＝.故选D.

4

2.已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是( ) A．若α，β是第一象限的角，则cos α＞cos β B．若α，β是第二象限的角，则tan α＞tan β C．若α，β是第三象限的角，则cos α＞cos β D．若α，β是第四象限的角，则tan α＞tan β 解析：选D 由三角函数线可知选D.

18

3.若角α是第三象限角，则

α

是第________象限角． 2

3π

解析：因为2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，

2πα3π

所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)．

224当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋

πα3πα

＜＜2nπ＋，是第二象限角， 2242

3πα7πα

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，是第四象限角，

2242α

综上知，当α是第三象限角时，是第二或四象限角．

2答案：二或四

4.(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为_____________．

解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，ππ25π5π2

sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化

442442

?π5π?规律标出满足题中条件的角x∈?，?.

4??4

答案：?

?π，5π?

4??4?

3

5.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．

cos α解：设α终边上任一点为P(k，－3k)， 则r＝k＋－3k2

2

＝10|k|.

当k＞0时，r＝10k， ∴sin α＝

－3k＝－3

110k，＝＝10， cos αk10

10k3

∴10sin α＋＝－310＋310＝0；

cos α

－3k3

当k＜0时，r＝－10k，∴sin α＝＝，

－10k10

19

1－10k＝＝－10， cos αk3∴10sin α＋＝310－310＝0.

cos α3

综上，10sin α＋＝0.

cos α

6．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

341

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－. 555341

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.

5553?π?(2)当a＞0时，sin θ＝∈?0，?，

2?5?4?π?cos θ＝－∈?－，0?，

5?2?则cos(sin θ)·sin(cos θ) 4?3?－＝cos ·sin??＜0； 5?5?

3?π?当a＜0时，sin θ＝－∈?－，0?，

5?2?4?π?cos θ＝∈?0，?，

2?5?则cos(sin θ)·sin(cos θ) 4?3?＝cos?－?·sin ＞0. 5?5?

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

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