2024届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理2024042313(8)

49

∴两边平方得1＋2sin αcos α＝，

16960

得sin αcos α＝－. 169

又0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， 2892

∴(sin α－cos α)＝1－2sin αcos α＝，

16917

∴sin α－cos α＝，②

13

125

由①②解得sin α＝，cos α＝－，

131312

故tan α＝－. 5

α＋π

6．化简：

－α－sin α

解析：原式＝π－α

3?5π－α??2???

－α－2π

＝________.

－cos α－tan αcosα

23

?π－α??2???

sin αcos αcos αsin αcosα

＝＝＝－1. 2

sin α－sin αcosα3－cosαcos α答案：－1

7.(2017·江西上饶一模)已知________.

π

解析：∵＜α＜π，∴cos α＜0.∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos

29π?12222?α，∴sin α＝，cos α＝－，则sin?α－?＝－cos α＝. 2?333?

22

答案：

3

8.sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值为________．

解：原式

＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°

9π?π?＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin?α－?＝2?2?

36

＝?－??3??3?11

?×?－?＋2×2＋1＝2. 2??2?

答案：2

9.已知α为第三象限角，

π???3π＋α?sin?α－?·cos?π－α?2???2?

f(α)＝

－α－π－α－π(1)化简f(α)；

3π?1?(2)若cos?α－?＝，求f(α)的值． 2?5?

π???3π?sin?α－?·cos?＋α?π－α

2???2?

解：(1)f(α)＝－α－π－α－π＝

－cos αα

－tan α

－tan αα

＝－cos α.

.

3π?11?(2)∵cos?α－?＝，∴－sin α＝， 2?55?1

从而sin α＝－.

5

262

又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sinα＝－，

526

∴f(α)＝－cos α＝.

5

10．已知关于x的方程2x－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

sinθcos θ

(1)＋的值； sin θ－cos θ1－tan θ(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

sinθcos θ

解：(1)原式＝＋ sin θ－cos θsin θ

1－

cos θsinθcosθ

＝＋ sin θ－cos θcos θ－sin θsinθ－cosθ＝＝sin θ＋cos θ. sin θ－cos θ由条件知sin θ＋cos θ＝

3＋1

， 2

2

2

2

2

2

2

2

37

sinθcos θ3＋1

故＋＝. sin θ－cos θ1－tan θ2(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝

3＋1m，sin θcos θ＝， 22

2

2

又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)，可得m＝3＋1

?sin θ＋cos θ＝，?2(3)由?

3

sin θcos θ＝，??43?sin θ＝，?2得?

1

cos θ＝??2

3

. 2

1

sin θ＝，?2?或?

3

cos θ＝.??2

ππ

又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝. 36B级——拔高题目稳做准做

?θπ?1

1．(2018·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin?＋?＝时，

?22?3

是( )

A．1 C．±1

B．－1 D．0

1－sin θ

的值θθcos－sin22

θ1?θπ?1

解析：选B ∵sin?＋?＝，∴cos＝，

23?22?3θθθ

∴在第一象限，且cos

θθ??－?cos －sin?22?1－sin θ?∴＝＝－1.

θθθθcos －sin cos －sin2222

?ππ?且sin

2.(2018·湖南衡阳模拟)已知θ∈?－，?，θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，

?22?

则tan θ的可能取值是( )

A．－3 1C．－ 3

1

B．3或

31

D．－3或－

3

38

解析：选C 由sin θ＋cos θ＝a， 两边平方可得2sin θ·cos θ＝a－1. 由a∈(0,1)，得sin θ·cos θ＜0.

2

?ππ?又∵θ∈?－，?， ?22?

?π?∴cos θ＞0，sin θ＜0，θ∈?－，0?. ?2?

又由sin θ＋cos θ＝a＞0，知|sin θ|＜|cos θ|.

?π?∴θ∈?－，0?，从而tan θ∈(－1,0)．故选C.

?4?

3.sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°＝________. 解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时， sinα＋sinβ＝sinα＋cosα＝1，

设S＝sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°， 则S＝sin89°＋sin88°＋sin87°＋…＋sin1°， 两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5. 答案：44.5

π52sin αcos α－cos α＋14.已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－，则的值为

251－tan α________．

解析：因为cos α－sin α＝－1

所以1－2sin αcos α＝.

54

所以2sin αcos α＝.

5

492

所以(sin α＋cos α)＝1＋2sin αcos α＝1＋＝. 55π35

因为0＜α＜，所以sin α＋cos α＝. 25与cos α－sin α＝－cos α＝

5

联立，解得 5

5， 5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

525，sin α＝.所以tan α＝2. 55

45

－＋1

2sin αcos α－cos α＋15559所以＝＝－. 1－tan α1－255

39

答案：

595－5

5.在△ABC中， (1)求证：cos

2

A＋B＋cos2

C22

＝1. (2)若cos??π?2＋A???sin??3π?2＋B??

?

tan(C－π)＜0，

求证：△ABC为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 所以

A＋B＝π

－C222

， 所以cosA＋BC2＝cos??π?2－C2???

＝sin2，

所以cos

2

A＋B＋cos2

C22

＝1. (2)因为cos??π?2＋A???sin??3π?2＋B???

tan(C－π)＜0， 所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0. 因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，所以???

cos B＜0，

或???

cos B＞0，

??

tan C＞0

?

?

tan C＜0，

所以B为钝角或C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形． 2

2

6．已知f(x)＝

cos

nπ＋xnπ－xcos

2n＋

π－x]

(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f??π?2 018???＋f??504π?1 009???

的值．

解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， 2

2

f(x)＝

coskπ＋xkπ－xcos

2

k＋

π－x]

2

2

2

＝cosx·sin－xcosx－sin x2

cos2π－x＝－cos x2＝sin2

x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， 2

f(x)＝

cosk＋

π＋x]·sin2

k＋π－x]

cos

2k＋＋1]π－x}

2

2

＝cos[2kπ＋π＋x[2kπ＋π－xcos2

k＋

π＋π－x 40

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