2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

2006中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）

第一天

福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

一、 实数a1,a2, ,an满足a1 a2 an

max(a)

1 k n

2k

0

2

，求证：

n3

n 1

i 1

ai ai 1 ．

证明 只需对任意1 k n，证明不等式成立即可． 记dk ak ak 1,k 1,2, ,n 1，则

ak ak

，

ak 1 ak dk，ak 2 ak dk dk 1, ,an ak dk dk 1 dn 1， ak 1 ak dk 1,ak 2 ak dk 1 dk 2, ,a1 ak dk 1 dk 2 d1，

把上面这n个等式相加，并利用a1 a2 an 0可得

nak (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1 0．

由Cauchy 不等式可得

(nak) (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1

2

2

k 12 i i 1

n k

i 1

n 12 i di i 1

2

n 12 n 12 n(n 1)(2n 1) n 12

i di di 6 i 1 i 1 i 1 n n 12 di 3 i 1

3

，

n3

n 1

所以 a

2k

i 1

ai a i1

2

．

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