2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(2)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

二、正整数a1,a2, ,a2006（可以有相同的）使得a1,a2, ,

a2

a3

a2005a2006

两

两不相等．问：a1,a2, ,a2006中最少有多少个不同的数？

解 答案：a1,a2, ,a2006中最少有46个互不相同的数．

由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故

a1,a2, ,a2006中互不相同的数大于45．

下面构造一个例子，说明46是可以取到的．

设p1,p2, ,p46为46个互不相同的素数，构造a1,a2, ,a2006如下：

p1,p1,p2,p1,p3,p2,p3,p1,p4,p3,p4,p2,p4,p1,

p1,pk,pk 1,pk,pk 2,pk, ,pk,p2,pk,p1, p1,p45,p44,p45,p43,p45, ,p45,p2,p45,p1

p46,p45,p46,p44,p46, ,p46,p22,p46

，

， ，

，

这2006个正整数满足要求．

所以a1,a2, ,a2006中最少有46个互不相同的数．

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