2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(5)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

当5m，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解

x0 2x1,y0 2y1，则

x12 11y12 m,

可得

x1

2

，y1(mod2)

2

100m x1 33y1 11 y1 3x1 ．

若 x1 y1 0(mod5)，或者 x1 1(mod5),y1 2(mod5)，或者

x1 2(mod5),y1 1(mod5)

，则x0

x1 33y1

5

,y0

y1 3x1

5

是方程①的一奇数

解．

若 x1 1(mod5),y1 2(mod5)，或x1 2(mod5),y1 1(mod5)，则

x0

x1 33y1

5

,y0

y1 33x1

5

是方程①的一奇数解．

引理证毕．

由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解(x0,y0)．令

l 2k 1，考虑二次方程

mx ly0x ny0 1 0

2

2

， ⑧

ly0 x0

2m

则

x

2m

，

这表明方程⑧至少有一个整数根x1，即

mx1 ly0x1 ny0 1 0

2

2

， ⑨

上式表明x1必为奇数．将⑨乘以4n后配方得

2ny0 lx1

2

11x1 4n，

2

22

这表明方程x 11y 4n有奇数解x 2ny0 lx1,y x1．

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