2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(8)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

五、实数列 an 满足：a1

ak 1 ak

12

，

，k 1,2, ．

12 ak

证明不等式

n

1

2(a1 a2 an)

n

n

1 1 a1 a2 an 1

1 1 1 ．

n a1 a2 an

12

,n 1,2,

证明 首先，用数学归纳法证明：0 an

n 1时，命题显然成立．

12

．

假设命题对n(n 1)成立，即有0 an 设f(x) x

1

．

1

,x 0, ，则f(x)是减函数，于是 2 x 2

an 1 f(an) f(0)

12

,

an 1 f(an) f()

2

116

0，

即命题对n＋1也成立．

原命题等价于

1 1 1 nn

1 1 1 1 ． 2 a a a aaaa a a2n 12n 1 2 n 1

n

n

设f(x) ln

1

1

1 ,x 0,

2 x

，则f(x)是凸函数，即对0 x1,x2

12

，有

f x1 f x2 x x2

f 1 ．

22

f x1 f x2 x1 x2 事实上，f 等价于

22

1 1 2

1 1 1 ，

x1 x2 x1 x2

2

x1 x2

2

0．

所以，由Jenson 不等式可得

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