2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(4)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

于是1 k 6．因为m为奇数，x2 11y2 2m，x2 11y2 6m显然没有整数解．

（1） 若x2 11y2 m，则x0 2x,y0 2y是方程①满足②的解． （2） 若x2 11y2 4m，则x0 x,y0 y是方程①满足②的解． （3） 若x2 11y2 3m，则 x 11y 11 x y 32 4m． 首先假设3

m，若

x

0(mod3),

y

x 11y3

2

2

0(mod3)，且

x,y0

x y3

y(mod3)，则

x0 是方程①满足②的解．若x y

x0

④

0(mod3)，则 x 11y3

,y0

y x3

⑤

是方程①满足②的解．

现在假设3m，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解

x0 2x1,y0 2y1，则

x1 11y1 m

22

36m 5x1 11y1 11 5y1 x1 ．

22

因为x1,y1的奇偶性不同，所以5x1 11y1，5y1 x1都为奇数． 若x y(mod3)，则x0 若x1

5x1 11y1

33

,y0

5y1 x1

33

2

是方程①的一奇数解． 是方程①的一奇数解．

2

y1(mod3)，则x0

5x1 11y1

,y0

5y1 x1

22

（4）x 11y 5m，则52 4m 3x 11y 11 3y x ．

当5则

m时，若x 1(mod5),y 2(mod5)，或x m2(,od)5

m1(od)5y

，

x0 是方程①满足②的解．

3x 11y

5

,y0

3y x5

⑥

若x 1(mod5),y 2(mod5)，或x 2(mod5),y 1(mod5)，则

x0

3x 11y

5

,y0

3y x5

⑦

是方程①满足②的解．

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