2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(3)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

三、正整数m，n，k满足：mn k2 k 3，证明不定方程

x 11y 4m

22

和 x 11y 4n

2

2

中至少有一个有奇数解(x,y)．

证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程

x2 11y2 4m ①

或有奇数解(x0,y0)，或有满足

x0 (2k 1)y0(modm) ②

的偶数解(x0,y0)，其中k是整数．

引理的证明 考虑如下表示

x (2k

1)y x,y为整数，且

0 x

1 1 m 2

,0 y

2

则共

有

0,，个表示，因此存在整

数x1,x2

y1,y2 0,

2

，满足(x1,y1) (x2,y2)，且

x1 (2k 1)y1 x2 (2k 1)y2(modm)，

这表明

x (2k 1)y(modm)， ③

这里x x1 x2,y y2 y1。由此可得

x (2k 1)y 11y(modm)，

22

故x 11y km，

因为x y

2

2

2

2

2

x 11y 4m

22

114

m 7m

，

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