2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(6)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

2006中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）

第二天

福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分

四、在直角三角形ABC中， ACB 90 ，△ABC 的内切圆O分

别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若 BPC

90 ，求证：AE AP PD

．

证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n． 因为 ACP PCB 90 PBC PCB，所以 ACP PBC．

EC

B

延长AD至Q，使得 AQC ACP PBC，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得

yz nl，

2

①

②

x m(m n)．

因为 ACP∽ AQC，所以

ACAQ

2

APAC

，故

③

(x z) m(m n l)．

在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得

(x z) z (m n)

2

2

2

2

2

， ④

2

(y z) (z x) (x y)

． ⑤

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