福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一数学下学期第二次((5)

福建省泉州市泉港区第一中学2017-2018学年高一数学下学期第二次(5月)月考试题

- 5 - 13．54 14. 16 15. 4根号13 16. ①⑤

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128，若b n ＝log 2a n ，数列{b n }前n 项的和为S n .

(1)若S n ＝35，求n 的值；

(2)求不等式S n ＜2b n 的解集. 【解】 (1)由a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝128得q 3＝64，

∴q ＝4，a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12

·4n －1＝22n －3， ∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －3＝2n －3.

∵b n ＋1－b n ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，

∴{b 1}是以b 1＝－1为首项，2为公差的等差数列，

∴S n ＝－1＋2n －

n 2＝35，n 2

－2n －35＝0， (n －7)(n ＋5)＝0，即n ＝7.

(2)∵S n －2b n ＝n 2－2n －2(2n －3)＝n 2

－6n ＋6＜0，

∴3－3＜n ＜3＋3，又∵n ∈N ＋，

∴n ＝2,3,4，即所求不等式的解集为{2,3,4}．

18．(本题满分12分)设△ABC 的内角为A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝a

－12

c . (1)求角B 的大小；

(2)若b ＝1，求△ABC 的周长l 的最大值．

[解析] 解法一：(1)∵b cos c ＝a －12c ，∴由余弦定理，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a －12

c ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2a 2－ac ，

∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴2ac cos B ＝ac ，

∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3

. (2)l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋c ＋1，由(1)知a 2＋c 2－1＝ac ，

∴(a ＋c )2－1＝3ac ，

∴(a ＋c )2＝1＋3ac ≤1＋34

(a ＋c )2， ∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2. 故△ABC 的周长l 的最大值为3.

解法二：(1)∵b cos C ＝a －12c ，∴由正弦定理，得sin B cos C ＝sin A －12sin C ，

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