1、2 第一、二讲 走进名校(4)

初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课

分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可． 解答：解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4）， ∴AB==5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4 5 3=12， ∵2013÷3=671，

∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671×12=8052，

∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）． 故答案为：（8052，0）．

如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形

的直角顶点的坐标为____（8040，0）

解：∵点A（-3，0），B（0，4），

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ∴OB=4，OA=3， ∴AB=

√ 42+32 =5，

∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，

∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位， 而2011=3×670+1， ∴三角形

和三角形④的状态一样，

所以三角形的直角顶点的横坐标为670×12=8040，纵坐标为0． 故答案为（8040，0）．

如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④?．

（1）求△OAB的斜边长AB；

（2）三角形⑩有两个顶点落在x轴上，试求点A到最远顶点的距离． 解 析（1）根据勾股定理，可求出AB的长度；

（2）观察图形，可知对△OAB连续作旋转变换，每三次一循环，则三角形⑩与三角形①的放置相同；又三角形③在x轴上与A点的最远距离是3+1×12，三角形⑥在x轴上与A点的最远距离是3+2×12，三角形⑨在x轴上与A点的最远距离是3+3×12，所以，三角形⑩这在x轴上与A点的最远距离是3+3×12+4=43．

解 答（1）在直角△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=4+3=5；（2分） （2）观察可知，三角形⑨在x轴上与A点的最远距离是3+3×12， 三角形⑩与三角形④的放置相同，

所以，三角形⑩这在x轴上与A点的最远距离是3+3×12+4=43．（6分）

2

2

如图，在直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（0，3），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是______，第（2013）的直角顶点的坐标是______．

由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同， 即每三次旋转为一个循环组依次循环， ∵一个循环组旋转过的长度为12，2×12=24，

∴第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，为（24，0）； ∵2013÷3=671，

∴第（2013）的直角顶点为第671循环组的最后一个直角三角形的直角顶点， 12×671=8052，

∴第（2013）的直角顶点的坐标是（8052，0）．

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 故答案为：（24，0）；（8052，0）．

25、（2013成都市）已知点（3,5）在直线y?ax?b（a,b为常数，且a?0）上，则

a的值为__________. b?5。

。【解析】∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，即b﹣5=﹣3a。∴

26、若最简二次根式和是同类二次根式．求x、y的值．

根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解． 【解析】 ∵最简二次根式

和

是同类二次根式，

∴3x-10=2，2x+y-5=x-3y+11，

即

解得：．

27、已知实数a,b,c均大于0，以a?b，4a?b，a?4b为三角形的三边，求三角形的面积是多少？

D A28、(嘉祥)如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB:BC:CD:DA＝2：2：3：1，

且∠B＝90°，求?DAB的度数．

连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC=45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理 可∠DAC=90°，从而求出∠DAB的度数．

BC222222【解析】 连接AC．

设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k． ∵∠B=90°，AB：BC=2：2，

222222

∴∠BAC=45°，AC=AB+BC=4k+4k=8k，

222

∵（3k）-k=8k， ∴∠DAC=90°，

∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°．

29、(嘉祥) 某园艺公司要对一块直角三角形的花圃进行扩建改造．测得这块三角形花圃的两直角边长分

别为6m、8m，现计划将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以．求扩建．8m．．为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．

后的等腰三角形花圃的周长。

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课

（2011 广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

答案：

解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，

（1）如图,当AB=AD时，CD=6m，△ABD的周长为10m+10m+6m+6m=32m； （2）如图2,当AB=BD时，CD=4m，AD=4

m，△ABD的周长是10m+10m+4

，

=（20+4

）m；

（3）如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，则

∴x=，∴△ABD的周长是10m+ +-6+6=

答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20+4

（4）如图4延长AC到D，使CD=AC=8m，连接DB， 则△ABD的周长是10m+10m+8m+8m=36m

m或m。

答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或（20+4）m或m或36m

30、如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的

结果均可用a，b的代数式表示）． （1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积； （2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；

（3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值；分两种情况讨论可得其最大最小值．

【解析】

（1）∵点F在AD上， ∴AF2=a2+a2，即AF=∴DF=b-a，

a，

∴S△DBF=DF×AB=×（b-a）×b=b2-ab；

（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，

∴四边形AFDB是梯形，

∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底， 由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴S△DBF=S△ABD=b2；

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆， 第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值， 因为△BFD的边BD=

b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值．

如图②所示DF⊥BD时，S△BFD的最大值=S△BFD=b?（+a）=，

S△BFD的最小值=S△BFD=b?（-a）=，

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值．

∴S△BFD的最大值=

．（如果答案为4a2或b2也可）．

31、如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.

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