1、2 第一、二讲 走进名校(6)

初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课

分析：

（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；

（2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；

（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以． 解：（1）由题意，得60×2.5=150（元）； （2）由题意，得

a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75），a=2.75，∴a+0.25=3， 设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×75=75k1，∴k1=2.5， ∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）； 设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得

，解得：，

∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；

（385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得

，解得：，

∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）

（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3， 当x＞125，175﹣x≤75时，

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 3x﹣50+2.5（175﹣x）=455，

解得：x=135，175﹣135=40，符合题意； 当75＜x≤125，175﹣x≤75时， 2.75x﹣18.75+2.5（175﹣x）=455， 解得：x=145，不符合题意，舍去； 当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时，

2.75x﹣18.75+2.75（175﹣x）=455，此方程无解． ∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3．

37、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：3?L?2． AA

P P

CBB

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：3?L?2

C

证明：（1）顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．

即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上， 即如下图：可得最小L= 3

（2）过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F． 由于∠APD＞∠AFP=∠ADP， 推出AD＞AP ① 又∵BD+DP＞BP ②

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 和PF+FC＞PC ③ 又∵DF=AF ④ 由①②③④可得：最大L＜2； 由（1）和（2）即得：3?L?2

38、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°， （1）求B、C两点的坐标；

（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；

（3）若点M在直线DE上，使以O、F、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=（1）求B、C两点的坐标；

（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；

，

（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；

（2）直线DE是AC的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE的解析式； （3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标． 【解析】

（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=∴设OA=

x，则OC=3x，

x）2=AC2， ．

，6）； =

，

根据勾股定理得：（3x）2+（即9x2+3x2=144，解得：x=2故C的坐标是：（6

，0），B的坐标是（6

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 （2）直线AC的斜率是：-=-，则直线DE的斜率是：．

x+b，

F是AC的中点，则F的坐标是（3，3），设直线DE的解析式是y=

x-6；

则9+b=3，解得：b=-6，则直线DE的解析式是：y=

（3）OF=AC=6， ∵直线DE的斜率是：

．∴DE与x轴夹角是60°，

当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，

则∠NOC=60°或120°．

当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON?sin30°=6×=3， OG=ON?cos30°=6×

=3

，则N的坐标是（3，3

）；

）；

当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称． ∵F的坐标是（3

，3），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=3，ON=作NL⊥y轴于点L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，则NL=ON=OL=ON?cos30°=2

×=3．故N的坐标是（

==2．

， ，3）．

当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 此时点的坐标为：（3则N的坐标是：（3，-3）． ，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）． 39、（石室中学）已知：在直角坐标系中，点A的坐标为(0,43)，?ACO=30°，一动点P从点A以每秒3单位向C点运动，以P点为顶点作等边△PMN，使得M,N在x轴上。 ①求直线AC的解析式

②用t表示正△PMN的面积S1,并求经过几秒，M点与O点重合？

③如图2，E为OC中点，作矩形OEKF，当1

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足

（1）求点A，点B的坐标；

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵，

∴，OA-1=0， ∴，OA=1，

点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，）；

（2）由（1），得AC=4，，，

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