1、2 第一、二讲 走进名校(5)

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 (1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0????90?)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;

若不成立,请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.

① 求证:BD⊥CF;

② 当AB=4,AD=2时,求线段BG的长.

CCC EE GFEDD 图1 F 图2 F 图3

45°θ

ABABADB

图13.2图13.3图13.1

如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立。

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G。 ①求证:BD⊥CF;

②当AB=4,AD=时,求线段BG的长。

解(1)BD=CF成立,理由:

∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形, ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC, ∴∠BAD=∠CAF,

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAF(SAS),∴BD=CF; (2)①证明:设BG交AC于点M,

∵△BAD≌△CAF(已证),∴∠ABM=∠GCM, ∵∠BMA=∠CMG, ∴△BMA∽△CMG,

∴∠BGC=∠BAC=90°,∴BD⊥CF,

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ②过点F作FN⊥AC于点N, ∵在正方形ADEF中,AD=DE=

∴AE==2,∴AN=FN=AE=1,

∵在等腰直角△ABC 中,AB=4, ∴CN=AC﹣AN=3,BC=∴在Rt△FCN中,tan∠FCN=∴在Rt△ABM中,tan∠ABM=∴CM=AC﹣AM=4﹣=,BM=∵△BMA∽△CMG,

=4=,

=tan∠FCN=.∴AM=AB=,

=

∴,∴,∴CG=,

∴在Rt△BGC中,BG==。

32、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .

当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论. 【解析】

由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况: (1)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4. 在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE=

=

=3,

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ∴OE=OD-DE=5-3=2, ∴此时点P坐标为(2,4); (2)如答图②所示,OP=OD=5.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4. 在Rt△POE中,由勾股定理得:OE=∴此时点P坐标为(3,4);

(3)如答图③所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.

=

=3,

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4. 在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE=∴OE=OD+DE=5+3=8, ∴此时点P坐标为(8,4).

综上所述,点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4).

33.如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为ts. (1)当t=3时,求l的解析式.

(2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围.

(3)直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.

=

=3,

答案 (1)直线y=-x+b交y轴于点P(0,b),

由题意,得b>0,t≥0,b=1+t, 当t=3时,b=4 ∴y=-x+4.

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 (2)当直线y=-x+b过M(3,2)时,得2=-3+b, 解得b=5, 5=1+t,∴t=4, 当直线y=-x+b过N(4,4)时,得4=-4+b, 解得b=8, 8=1+t,∴t=7, ∴M,N异侧时t的取值范围是4

34、(2013成都市)某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒,其运动速度V(米/秒)关于时间t(秒)的函数关系如图所示。某学习小组经过探究发现:该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积。有物理学知识还可知:该物体前n(3?n?7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDMN的面积之和。 根据以上信息,完成下列问题:

(1)当3?n?7时,用含t的代数式表示运动速度V;

(2)分别求该物体在0?n?3和3?t?7时,运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式;并求该物体从P点运动到Q点总路程的

7时所用的时间。 10解:(1)设直线BC的解析式为v=kt+b,由题意,得

解得: ∴v=2t-4;

(2)由题意,得

S=, ∴P点运动到Q点的路程为:72-4×7+9=49-28+9=30, ∴30×=21, ∴t2-4t+9=21,

整理得,t2-4t-12=0,

解得:t1=-2(舍去),t2=6.

∴该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间为6秒.

35、在东营市中小学标准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元,购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.

(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元?

(2)根据学校实际,需购进电脑和电子白板共30台,总费用不超过30万元,但不低于28万元,请你通过计算求出有几种购买方案,哪种方案费用最低.

解析:(1)设电脑、电子白板的价格分别为x,y元,根据等量关系:1台电脑+2台电子白板凳3.5万元,2台电脑+1台电子白板凳2.5万元,列方程组即可.

(2)设购进电脑x台,电子白板有(30-x)台,然后根据题目中的不等关系列不等式组解答.

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 解:(1)设每台电脑x万元,每台电子白板y万元,根据题意得:

解得:

答:每台电脑0.5万元,每台电子白板1.5万元. (2)设需购进电脑a台,则购进电子白板(30-a)台,

则 解得: 15≤a≤17 ,即a=15,16,17.

故共有三种方案:

方案一:购进电脑15台,电子白板15台.总费用为万元;

方案二:购进电脑16台,电子白板14台.总费用为万元;

方案三:购进电脑17台,电子白板13台.总费用为万元;

所以,方案三费用最低.

36、为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价格如表所示:

每月用气量 不超出75m3的部分 超出75m3不超出125m3的部分 超出125m3的部分 单价(元/m3) 2.5 a a+0.25 (1)若甲用户3月份的用气量为60m3,则应缴费 150 元;

(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系如图所示,求a的值及y与x之间的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,若乙用户2、3月份共用1气175m3(3月份用气量低于2月份用气量),共缴费455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少?

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