初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ∴,∴△ABC为直角三角形,
设CP=t,过P作PQ⊥CA于Q,由△CPQ∽△CBO,易得PQ=,
∴S==(0≤t<);
(3)存在,满足条件的的有两个:,。
40、(七中)如图(1),一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图(2),当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图(3)所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成
N立,请说明理由. FD?F?C DCD C
N F OOO G E MBABMABEAG????E G 图1 图2 图3
(1)BM=FN.
证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF. 又∵∠BOM=∠FON, ∴ △OBM≌△OFN . ∴ BM=FN.
(2)BM=FN仍然成立.
证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF. ∴∠MBO=∠NFO=135°. 又∵∠MOB=∠NOF, ∴ △OBM≌△OFN .
∴ BM=FN.
如0①,一等腰直角三角尺hEFy两条直角边与正方形AeCry两条边分别重合在一起,现正方形AeCr保持不动,将三角尺hEF绕斜边EFy0点O(点O也是ery0点)按顺时针方向旋转:
(1)如0②,当EF与Ae相交于w点,hF与er相交于点N时,通过观察或测量ew、FNy长度,猜想ew、
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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 FN满足y关系式,并证明你y猜想;
(2)若三角尺hEF旋转到如0③所示y位置时,线段FEy延长线与Aey延长线相交于点w,线段ery延长线与线段hFy延长线相交于点N,此时,(1)0y猜想还成立吗?若成立请证明;若不成立请说明理由.
(1)BM=FN.
证明:因为△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, 所以∠ABD=∠F=15°,OB=OF, 在△OBM与△OFN中,
∠ABD=∠F=15° OB= OF ∠BOM= ∠FON
所以△OBM≌△OFN(ASA), 所以BM=FN;
(s)BM=FN仍然成立.
证明:因为△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, 所以∠DBA=∠GFE=15°,OB=OF, 因为∠MBO=∠NFO=155°, 在△OBM与△OFN中, ∠ABD=∠F=15° OB= OF ∠BOM= ∠FON
所以△OBM≌△OFN(ASA), 所以BM=FN.
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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 41.已知一次函数y=标分别为A(-
x+m(O<m≤1)的图象为直线l,直线l绕原点O旋转180°后得直线l′,△ABC三个顶点的坐
,-1)、C(O,2).
,-1)、B(
(1)求直线l′的解析式(可以含m);
(2)如图,l、l′分别与△ABC的两边交于E、F、G、H,四边形EFGH的面积记为S,试求m与S的关系式,并求S的变化范围;
(3)若m=1,当△ABC分别沿直线y=x与y=
x平移时,判断△ABC介于直线l,l′之间部分的面积是否改变?若不
变请指出来;若改变请直接写出面积变化的范围.(本小题不必说明理由)
(1)先在直线l上取两点,再分别得出这两点绕原点O旋转180°后的对应点,然后运用待定系数法即可求出l′的解析式; (2)先运用等边三角形的性质求出EF、GH的长度,再根据梯形的面积公式求解; (3)根据平移的知识可知:沿y=
x平移时,面积不变;沿y=x平移时,面积改变,设其面积为S'.显然,如果△ABC
与l、l′没有交点,则面积S′取最小值0;由于m=1时,△ABC介于直线l,l′之间的部分是一个梯形,l与l′之间的距离是1,即梯形的高是1,则当EF+GH取最大值时,S′有最大值,此时直线l与l′中有一条过点C,且F、G落在△ABC的同一边上,可求S′=
,则0≤S'≤
.
【解析】
(1)∵一次函数y=x+m(O<m≤1)与x轴交于点M(-m,0),与y轴交于点N(0,m),
∴点M、N绕原点O旋转180°后的对应点M′(由题意,知M′、N′在直线l′上,
m,0),与y轴交于点N(0,-m),
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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 运用待定系数法易得直线l′的解析式为y=(2)∵A(-
-m;
x+2,
,-1)、C(O,2),∴直线AC的解析式为y=
x+m,直线l′的解析式为y=
又∵直线l的解析式为y=∴l∥l′∥AC. ∵A(-,-1)、B(
,
-m,
,-1)、C(O,2),
∴AB=BC=CA=2
∴△ABC是等边三角形.
∵当y=-1时,当y=-1时,
x+m=-1,x=x-m=-1,x=
,∴E(,∴H(
,-1),BE=,-1),BH=
-
-=
=, ,
∵l∥AC,△ABC是等边三角形,∴△BEF是等边三角形,EF=BE=同理,HG=BH=
.
,
过点O作OD⊥MN于D,则2OD是梯形EFGH的高. ∵点M(-m,0),点N(0,m),∴MN=
.
在△OMN中,由面积公式,得OD==m,∴2OD=m,
∴梯形EFGH的面积S=(EF+GH)?2OD=m(+)=,
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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ∵
∴S随m的增大而增大, 又∵0<m≤1, ∴0<S≤
;
>0,
(3)如果△ABC沿直线y=x平移,由平移的知识可知面积不变;
如果△ABC沿直线y=x平移,面积改变,设其面积为S',
易知S′最小值为0,S′取最大值时,直线l与l′中有一条过点C,且F、G落在△ABC的同一边上, 如图所示,此时求得S'=则0≤S'≤
.
.
42、(实外)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数。请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点个数共有 个
40 【解析】
试题分析:【解析】
第一个正方形有4×1=4个整数点; 第2个正方形有4×2=8个整数点;
第3个正方形有4×3=12个整数点;…以此类推,当第n个正方形就有4n个整数点。所以:
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