1、2 第一、二讲 走进名校(7)

初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ∴，∴△ABC为直角三角形，

设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，

∴S==（0≤t＜）；

（3）存在，满足条件的的有两个：，。

40、（七中）如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成

N立，请说明理由． FD?F?C DCD C

N F OOO G E MBABMABEAG????E G 图1 图2 图3

（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．

∴ BM=FN．

如0①，一等腰直角三角尺hEFy两条直角边与正方形AeCry两条边分别重合在一起，现正方形AeCr保持不动，将三角尺hEF绕斜边EFy0点O（点O也是ery0点）按顺时针方向旋转：

（1）如0②，当EF与Ae相交于w点，hF与er相交于点N时，通过观察或测量ew、FNy长度，猜想ew、

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 FN满足y关系式，并证明你y猜想；

（2）若三角尺hEF旋转到如0③所示y位置时，线段FEy延长线与Aey延长线相交于点w，线段ery延长线与线段hFy延长线相交于点N，此时，（1）0y猜想还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由．

（1）BM=FN．

证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， 所以∠ABD=∠F=15°，OB=OF， 在△OBM与△OFN中，

∠ABD=∠F=15° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA）， 所以BM=FN；

（s）BM=FN仍然成立．

证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， 所以∠DBA=∠GFE=15°，OB=OF， 因为∠MBO=∠NFO=155°， 在△OBM与△OFN中， ∠ABD=∠F=15° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA）， 所以BM=FN．

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 41.已知一次函数y=标分别为A（-

x+m（O＜m≤1）的图象为直线l，直线l绕原点O旋转180°后得直线l′，△ABC三个顶点的坐

，-1）、C（O，2）．

，-1）、B（

（1）求直线l′的解析式（可以含m）；

（2）如图，l、l′分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；

（3）若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=

x平移时，判断△ABC介于直线l，l′之间部分的面积是否改变？若不

变请指出来；若改变请直接写出面积变化的范围．（本小题不必说明理由）

（1）先在直线l上取两点，再分别得出这两点绕原点O旋转180°后的对应点，然后运用待定系数法即可求出l′的解析式； （2）先运用等边三角形的性质求出EF、GH的长度，再根据梯形的面积公式求解； （3）根据平移的知识可知：沿y=

x平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为S'．显然，如果△ABC

与l、l′没有交点，则面积S′取最小值0；由于m=1时，△ABC介于直线l，l′之间的部分是一个梯形，l与l′之间的距离是1，即梯形的高是1，则当EF+GH取最大值时，S′有最大值，此时直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，可求S′=

，则0≤S'≤

．

【解析】

（1）∵一次函数y=x+m（O＜m≤1）与x轴交于点M（-m，0），与y轴交于点N（0，m），

∴点M、N绕原点O旋转180°后的对应点M′（由题意，知M′、N′在直线l′上，

m，0），与y轴交于点N（0，-m），

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 运用待定系数法易得直线l′的解析式为y=（2）∵A（-

-m；

x+2，

，-1）、C（O，2），∴直线AC的解析式为y=

x+m，直线l′的解析式为y=

又∵直线l的解析式为y=∴l∥l′∥AC． ∵A（-，-1）、B（

，

-m，

，-1）、C（O，2），

∴AB=BC=CA=2

∴△ABC是等边三角形．

∵当y=-1时，当y=-1时，

x+m=-1，x=x-m=-1，x=

，∴E（，∴H（

，-1），BE=，-1），BH=

-

-=

=， ，

∵l∥AC，△ABC是等边三角形，∴△BEF是等边三角形，EF=BE=同理，HG=BH=

．

，

过点O作OD⊥MN于D，则2OD是梯形EFGH的高． ∵点M（-m，0），点N（0，m），∴MN=

．

在△OMN中，由面积公式，得OD==m，∴2OD=m，

∴梯形EFGH的面积S=（EF+GH）?2OD=m（+）=，

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初二数学 2014寒假讲义 第一、二次课 ∵

∴S随m的增大而增大， 又∵0＜m≤1， ∴0＜S≤

；

＞0，

（3）如果△ABC沿直线y=x平移，由平移的知识可知面积不变；

如果△ABC沿直线y=x平移，面积改变，设其面积为S'，

易知S′最小值为0，S′取最大值时，直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上， 如图所示，此时求得S'=则0≤S'≤

．

．

42、（实外）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数。请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有 个

40 【解析】

试题分析：【解析】

第一个正方形有4×1=4个整数点； 第2个正方形有4×2=8个整数点；

第3个正方形有4×3=12个整数点；…以此类推，当第n个正方形就有4n个整数点。所以：

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