高中数学竞赛讲义9

高中数学竞赛讲义（九）

──不等式

一、基础知识 不等式的基本性质： （1）a>b（3）a>b

a-b>0； （2）a>b, b>ca+c>b+c； （4）a>b, c>0

a>c； ac>bc；

ac>bd;

;

（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0

（7）a>b>0, n∈N+（9）a>0, |x|<a

an>bn; （8）a>b>0, n∈N

+-a<x<a, |x|>a

x>a或x<-a;

（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈R，则(a-b)2≥0（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2

a2+b2≥2ab;

, x+y+z

前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若与a>b

矛盾，所以假设不成立，所以

，由性质（7）得

，即a≤b，

；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为

x+y-2等式，

令

≥0，所以x+y≥

，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不

，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2

-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥时成立。

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

，等号当且仅当x=y=z

（1）比较法，在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小，或把比较大小，最后得出结论。

例1

设

a,

b,

c∈R+，试证：对任意实数

（A，B>0）与1

x, y, z, 有

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