高中数学竞赛讲义9(3)

所以，

所以只需证明，

也就是证，

只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。 （3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.

【证明】 1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。

2）设n=k时有kk+1>(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即

>1. 因

为

，所以只需证

所以由数学归纳法，命题成立。 （4）反证法。

，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证

(k+1)2>k(k+2)，即证k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。

例6 设实数a0, a1, ,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0, , an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2, , n-1).

【证明】 假设ak(k=1, 2, ,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是a1, a2, , an-1中第一个出现的正数，则a1≤0, a2≤0, , ar-1≤0, ar>0. 于是ar-ar-1>0，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。

所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2≥ ≥ar-ar-1>0.

因为an≥ak-1≥ ≥ar+1≥ar>0与an=0矛盾。故命题获证。 （5）分类讨论法。

例7 已知x, y, z∈R+，求证：【证明】 不妨设x≥y, x≥z.

ⅰ）x≥y≥z，则

，x2≥y2≥z2，由排序原理可得

，原不等式成立。

ⅱ）x≥z≥y，则

，x2≥z2≥y2，由排序原理可得

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