高中数学竞赛讲义9(8)

排列

，有a1bn+a2bn-1+ +anb1≤≤a1b1+a2b2+ +anbn.

【证明】 引理：记A0=0，Ak

=

，则

=（阿贝尔求和法）。

证法一：因为b1≤b2≤ ≤bn，所以记sk=

≥b1+b2+ +bk.

-( b1+b2+ +bk)，则sk≥0(k=1, 2, , n)。

所

以

-(a1b1+a2b2+ +anbn

)=

+snan≤0.

最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, , n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二：（调整法）考察若因为

≥0，

所 调整后，和是不减的，接下来若得左边不等式。

，则继续同样的调整。至多经n-1次调整

(j≤n-1)，则将

与

互换。

，若

，则存在。

就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可

例15 已知a1, a2, ,an∈R+，求证；

a1+a2+ +an.

【证明】证法一：因为≥2an.

， ，

上述不等式相加即得

≥a1+a2+ +an.

证法二：由柯西不等式

(a1+a2+ +an)≥(a1+a2+ +an)2，

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