线性代数§5.3相似矩阵(3)

线性代数同济大学第六版

2. P-1(k1A1+k2A2)P = k1P-1A1P+k2P-1A2P. 其中k1, k2是任意常数 3. P-1(A1A2)P = (P-1A1P)(P-1A2P). 4. 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). 由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使 P-1AP = B, 亦即 A = PBP-1, · · PBP-1 = PBmP-1. 所以, Am = (PBP-1)m = PBP-1PBP-1 · 进一步有, 若 (A)=a0E+a1A+· · · +amAm, 则 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+· · · +amPBmP-1 =P(a0E+a1B+· · · +amBm)P-1 =P (B)P-1. 即相似矩阵的多项式, 有相同的相似变换矩阵. 特别当矩阵A与对角阵 =diag( 1, 2,· · · , n )相似时, 则 Am = P mP-1; (A)= P ( )P-1.

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