2024届步步高大一轮复习讲义3.4

§3.4 定积分

2014高考会这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理；2.利用定积分求曲边梯形面积、变力做功、变速运动的位移等．

复习备考要这样做 1.理解定积分的概念和几何意义；2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题．

1． 似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区

n

间上任取一点ξi(i＝1,2， ，n)，作和式∑f(ξi)Δx.当n→∞时，上述和式无限接近于某个＝

i1

常数，这个常数叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作

n

bb

af(x)dx，即 af(x)dx＝lim∑

n→∞i＝1

b－a

f(ξi)，其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积式， [a，b]为积分n

区间，a为积分下限，b为积分上限，“ ”称为积分号． 3． 定积分的运算性质

b

(1) bakf(x)dx＝k af(x)dx (k为常数)． bb(2) b ag(x)dx. a[f(x)±g(x)]dx＝ af(x)dx±cb(3) baf(x)dx＝ af(x)dx＋ cf(x)dx (a<c<b)．

4． 微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 baf(x)dx＝又叫作牛顿——莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)

bb记为F(x)|ba，即 af(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)．

[难点正本 疑点清源]

1．定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等． 2．由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

3．利用定积分和曲边梯形面积的关系也可以计算定积分．

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