2024届步步高大一轮复习讲义3.4(3)

(1) 20x(x＋1)dx；

2x1(2) 21e＋xdx； πx(3) 0sin2x. 22

思维启迪：化简被积函数，由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解．

22解 (1) 20x(x＋1)dx＝ 0(x＋x)dx

13212222＝ 2xdx＋ xdx＝x|＋x| 00

3020111423－0 ＋ ×22－0 ＝. ＝ 3 2 3

22x21 2x1(2) 21e＋xdx＝ 1edx＋ 1dx x

112214＝2x|21＋ln x|1－＋ln 2－ln 1 22211

＝4－e2＋ln 2. 22

πxπ11

－x dx (3) 0sin2x＝ 0 222 22π11π

＝ 0dx－ 0cos xdx 2222

1π1ππ1π－2＝|－sin x|0－＝2222424

探究提高 计算一些简单的定积分，解题的步骤：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．

求下列定积分：

32(1) 20(4x＋3x－x)dx；

12 (2) 21x－x＋xdx； x(3) 0－π(cos x＋e)dx；

(4) 20|1－x|dx.

32解 (1) 20(4x＋3x－x)dx 3222＝ 20(4x)dx＋ 0(3x)dx－ 0xdx

12232＝x4|20＋x|0－x|0 2

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