2024届步步高大一轮复习讲义3.4(4)

1

＝(24－0)＋(23－0)－(22－0)

2＝16＋8－2＝22.

1222221 (2) 21x－x＋xdx＝ 1xdx－ 1xdx＋ 1dx xx22x32

＝|1－1＋ln x|21 23375＝＋ln 2＝ln 2－. 236

x(3) 0－π(cos x＋e)dx 0x＝ 0－πcos xdx＋ －πedx

1x0＝sin x|0－π＋e|－π＝1－. e

12(4) 20|1－x|dx＝ 0(1－x)dx＋ 1(x－1)dx

1 12－x |2

x－x2 |1＝ ＋0

2 2 1

111

1－ －0＋ ×22－2 － ×12－1 ＝ 2 2 2 ＝1.

题型二 求曲边梯形的面积

例2 如图所示，求由抛物线y＝f(x)＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和

点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．

3 思维启迪：求出两切线交点M的坐标23 ，将积分区间分为两段

0，3 、33 . 2 2

解 由题意，知抛物线y＝f(x)＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝f′(0)＝4，在点B处的切线斜率是k2＝f′(3)＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.

y＝4x－3，

设两切线相交于点M，由

y＝－2x＋6

33

消去y，得x＝，即点M的横坐标为.

22

33

0上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间 3 上，曲线在区间 2 2 y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方． 因此，所求的图形的面积是

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