四川省成都外国语学校2024届高三2月月考 数学文 Word版含答案(11)

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OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22

18

4x y y kx m +==+?????得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,

则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22

840k m -+> 122

212241228

12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?,222222

22212121212222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即222

22

28801212m m k k k --+=++, 所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ?>?≥?

, 所以283

m ≥,

即m ≥

或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为r =222228381318

m m r m k ===-++

,r =所求的圆为2283

x y +=,此时圆的切线y kx m =+

都满足m ≥

或m ≤, 而当切线的斜率不存在时切线

为x =与椭圆22184

x y +=的两个交点

为(33±

或()33

-±满足OA OB ⊥ , 综上, 存在圆心在原点的圆2283

x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥ .

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